Inspecteurs · Analyse 40 % · Fiche 1

QCM type concours — Suites numériques

مباراة ولوج مركز تكوين مفتشي التعليم

30 questions à réponse unique sur la convergence, les suites extraites, les suites adjacentes, les récurrences, la méthode de Héron, les moyennes arithmético-géométriques et le calcul de limites. Validez chaque réponse pour afficher immédiatement sa correction détaillée.

ModeEntraînement

Questions visibles30

Réponses choisies0

Partie I — Convergence et suites extraites

Nombre de questions : 5

0 / 5réponses choisies

Score : 0 / 5

Soit

(u_{n})

une suite convergeant vers

ℓ

. Quel raisonnement permet d’établir que

(u_{n})

est bornée ?

Une suite à valeurs entières converge dans

R

. Quelle conclusion est nécessairement vraie ?

Pour $n \geq 1$ , on pose $u_{n} = (- 1)^{n} + \frac{1}{n} .$ Quelle affirmation est correcte ?

On suppose que

u_{2 n} \to α

u_{2 n + 1} \to β

. À quelle condition la suite

(u_{n})

converge-t-elle ?

Soit $q \geq 2$ un entier et $u_{n} = cos (\frac{2 nπ}{q}) .$ Quelle proposition est correcte ?

Partie II — Suite harmonique et produits télescopiques

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

On pose

H_{n} = 1 + 1/2 + \dots + 1/ n

. Quel encadrement est valable pour tout

n \geq 1

On pose

H_{n} = 1 + 1/2 + \dots + 1/ n

w_{n} = H_{n} - ln n

. Quelle affirmation est correcte ?

Pour $n \geq 2$ , on pose $P_{n} = \prod_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{k ^{2}}) .$ Quelle est l’expression exacte de $P_{n}$ ?

Pour

P_{n} = \prod_{k = 2}^{n} (1 - 1/ k^{2})

, la limite de

(P_{n})

est :

Partie III — Suites construites avec les factorielles

Nombre de questions : 2

0 / 2réponses choisies

Score : 0 / 2

Q10

On considère $u_{n} = 1 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots + \frac{1}{n !}, v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n !} .$ Quelle affirmation décrit correctement les deux suites ?

Q11

Avec $u_{n} = 1 + \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k !}, v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n !},$ la limite commune des suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ est :

Partie IV — Méthode de Héron

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

Q12

Soient $a > 0$ , $u_{0} > 0$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}}) .$ Quelle identité est correcte ?

Q13

Pour la suite de Héron

u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + a / u_{n})

, quelle propriété est vérifiée pour

n \geq 1

Q14

Pour

a > 0

u_{0} > 0

u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + a / u_{n})

, la limite de

(u_{n})

est :

Q15

Quelle est la majoration quadratique de

u_{n + 1} - a

pour la méthode de Héron ?

Partie V — Suites définies par itération

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

Q16

Soit

f : [a, b] \to [a, b]

continue et croissante, et

u_{n + 1} = f (u_{n})

. Quelle affirmation est correcte ?

Q17

On considère $u_{0} = 4, u_{n + 1} = \frac{4 u _{n} + 5}{u _{n} + 3} .$ Quelle est la limite de $(u_{n})$ ?

Q18

Soit

f : [a, b] \to [a, b]

continue et décroissante, avec

u_{n + 1} = f (u_{n})

. Quelle affirmation générale est correcte ?

Q19

On pose $u_{0} = \frac{1}{2}, u_{n + 1} = (1 - u_{n})^{2} .$ Quelles sont les limites des suites extraites ?

Partie VI — Moyennes arithmétique et géométrique

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

Q20

Pour

a, b > 0

, quelle proposition est correcte ?

Q21

On suppose $0 < u_{0} < v_{0}$ et $u_{n + 1} = u_{n} v_{n}, v_{n + 1} = \frac{u _{n} + v _{n}}{2} .$ Quel encadrement est valable pour tout $n$ ?

Q22

Pour les suites

u_{n + 1} = u_{n} v_{n}

v_{n + 1} = (u_{n} + v_{n}) /2

, quelle affirmation est correcte ?

Q23

Pour les moyennes arithmético-géométriques, on pose

w_{n} = v_{n} - u_{n}

. Quelle inégalité permet d’établir l’adjacence ?

Partie VII — Suite définie implicitement

Nombre de questions : 2

0 / 2réponses choisies

Score : 0 / 2

Q24

Pour $n \geq 1$ , on note $a_{n}$ l’unique solution dans $[0, 1]$ de $\sum_{k = 1}^{n} x^{k} = 1.$ Quel est le comportement de $(a_{n})$ ?

Q25

Pour

f_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} x^{k} - 1

, quel ensemble d’arguments garantit l’existence et l’unicité de son zéro

a_{n}

dans

[0, 1]

Partie VIII — Calcul de limites

Nombre de questions : 5

0 / 5réponses choisies

Score : 0 / 5

Q26

Calculer $lim_{n \to + \infty} \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )}{n ^{3}} .$

Q27

Calculer $lim_{n \to + \infty} \frac{n + ( - 1 ) ^{n}}{n - ( - 1 ) ^{n}} .$

Q28

Calculer $lim_{n \to + \infty} \frac{n s i n ( n !)}{n ^{2} + 1} .$

Q29

Calculer $lim_{n \to + \infty} \frac{1 + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{3}} .$

Q30

La suite de nombres décimaux

0, 23; 0, 233; 0, 2333; \dots

a pour limite :

À retenir

Pour une suite récurrente, prouver la convergence avant de résoudre l’équation du point fixe.
Deux sous-suites de limites distinctes suffisent pour établir la divergence.