EXAMEN 5

Le contrat didactique est :

l’ensemble des savoirs transmis par l’enseignant(e) à l’élève et l’ensemble des représentations de l’élève que l’enseignant(e) cherche à mettre en évidence.

l’ensemble de compétences professionnelles pour l’enseignant(e) dans le transfert de connaissances à l’élève et l’ensemble d’activités réalisées par ce dernier.

l’ensemble des comportements de l’enseignant(e) qui sont attendus de l’élève, et de l’ensemble des comportements de l’élève qui sont attendus de l’enseignant(e).

l’ensemble des connaissances que l’enseignant(e) transmet à l’élève et l’ensemble des compétences qu’il développe chez lui.

La variable didactique est un paramètre dans une situation-problème dont la variation est susceptible :

d’amener l’élève à acquérir des compétences supérieures.

de provoquer une modification de la stratégie de solution adoptée par l’élève.

d’assurer une mesure du degré de maîtrise des compétences minimales chez l’élève.

de provoquer une modification du parcours d’engagement de l’élève dans la résolution.

L’obstacle épistémologique est :

une contrainte d’ordre logique dans la consigne d’une question qui empêche l’élève d’y répondre.

une contrainte d’ordre psychogénétique qui entrave l’acquisition d’une connaissance chez l’élève.

une difficulté rencontrée par l’élève au cours de son parcours pouvant gêner ou faciliter son apprentissage.

l’ensemble des perturbations qui provoquent la stagnation et la régression d’un savoir scientifique au profit de son progrès.

La transposition didactique est :

le processus selon lequel un savoir savant se transforme en un savoir à enseigner.

le processus par lequel s’établissent les règles de la relation pédagogique entre l’enseignant(e) et l’élève.

le processus de transmission du savoir en classe avec la participation centrale de l’élève.

le processus de construction d’un savoir chez l’élève à partir de ses représentations.

Le concept de conflit socio-cognitif exprime :

le conflit entre les États dans le domaine de la connaissance.

certains des conflits historiques qui ont marqué l’émergence de certains concepts.

l’interaction sociale entre individus et groupes dans le processus de construction d’un savoir.

les différentes attitudes sociétales envers l’importance de la connaissance.

La trame conceptuelle permet à l’enseignant(e) :

de garantir l’assimilation du concept à enseigner par les élèves.

de prévoir de façon raisonnée une progression pédagogique.

d’anticiper les erreurs individuelles des élèves.

de connaître au préalable les questions prospectives des élèves.

Le manuel scolaire est un outil d’apprentissage pour :

l’enseignant(e).

l’élève.

le parent de l’élève.

l’inspecteur pédagogique.

Le manuel scolaire est un outil d’enseignement et d’apprentissage :

pour mettre en œuvre les programmes seulement et aider l’élève dans son auto-apprentissage.

pour mettre en œuvre les directives pédagogiques et dispense l’enseignant(e) de la préparation des cours.

pour mettre en œuvre les programmes et les directives pédagogiques sans se substituer à eux.

pour mettre en œuvre les programmes et les directives pédagogiques et s’y substituer.

Deuxième partie

I.

Les directives pédagogiques relatives au programme de mathématiques de la deuxième année de l’enseignement secondaire collégial stipulent que (document 1) :

Document 1

La symétrie axiale est un outil fort dans l’étude des figures géométriques (et particulièrement celles qui sont symétriques). Elle est considérée parmi les acquis des élèves qu’ils ont déjà octroyés et traités au niveau du primaire. Aussi doit-on la renforcer, la rehausser et l’employer dans la résolution des problèmes géométriques divers en vue d’entraîner les élèves à la démonstration et à la justification des constructions et des résultats.
La présentation de la symétrie axiale en tant qu’application du plan est à éviter. D’ailleurs, toutes ses propriétés (conservation de la distance ; de l’alignement ; de l’aire ; des mesures des angles, ...) doivent être déduites d’activités bien choisies et en s’appuyant sur l’observation, l’expérience et la mesure. On exploite ces activités pour élaborer des démonstrations simples.

Traduit de l’arabe à partir du fascicule des directives pédagogiques générales d’enseignement des mathématiques au secondaire collégial, pp. 32 et 35. (Direction des curricula et de la vie scolaire, août 2009).

Questions

Où se manifeste l’importance de la symétrie axiale ? Et pourquoi ?
Déterminer, à partir du document 1, la relation dialectique entre la démonstration mathématique et la symétrie axiale.
Pourquoi, à votre avis, la présentation de la symétrie axiale en tant qu’application du plan est-elle à éviter ?
Identifier, à partir du document 1, des outils à adopter pour présenter les propriétés de la symétrie axiale.
Pour présenter une leçon, on utilise les types d’activités suivants : activités de construction, activités d’introduction, activités de rappel, activités d’enrichissement, activités d’expansion. Quels types d’activités sont appropriés pour mener le chapitre de la symétrie axiale pour le niveau de la deuxième année collégiale ? Justifier votre réponse.
Proposer une situation-problème dans laquelle la symétrie axiale est utilisée comme un outil de résolution.

Il s’agit d’un corrigé-type argumenté. Des formulations équivalentes, lorsqu’elles sont mathématiquement et didactiquement justifiées, peuvent également être acceptées.

Afficher : Corrigé détaillé — I. Exploitation du document 1 : la symétrie axialeMasquer : Corrigé détaillé — I. Exploitation du document 1 : la symétrie axiale

Corrigé détaillé — I. Exploitation du document 1 : la symétrie axiale

1) Où se manifeste l’importance de la symétrie axiale ? Et pourquoi ?

L’importance de la symétrie axiale se manifeste principalement dans trois domaines :

l’étude des figures géométriques, en particulier des figures présentant un axe de symétrie ;
la résolution de problèmes géométriques variés ;
l’apprentissage de la démonstration et de la justification des constructions et des résultats.

La symétrie axiale est importante parce qu’elle conserve plusieurs propriétés géométriques essentielles : les distances, l’alignement, les mesures des angles et les aires.

Elle permet donc de transporter des propriétés d’une figure à son image, de simplifier certaines configurations et de construire des raisonnements géométriques.

Elle est aussi importante d’un point de vue pédagogique, car elle a déjà été rencontrée au primaire. Au collège, il ne s’agit donc pas de l’introduire comme une notion entièrement nouvelle, mais de la réactiver, de la renforcer et de l’utiliser comme un véritable outil de résolution et de démonstration.

2) Relation dialectique entre la démonstration mathématique et la symétrie axiale

La relation est une relation à double sens.

D’une part, les propriétés de la symétrie axiale doivent être découvertes à partir d’activités d’observation, d’expérimentation et de mesure, puis justifiées progressivement par des démonstrations simples.

D’autre part, une fois ces propriétés établies, la symétrie axiale devient elle-même un outil de démonstration. Elle permet, par exemple, de justifier :

l’égalité de deux longueurs ;
l’égalité de deux angles ;
le parallélisme ou l’alignement ;
l’égalité de deux aires ;
la validité d’une construction géométrique.

On retrouve donc une dialectique outil–objet :

la symétrie est d’abord un objet d’étude dont on construit et démontre les propriétés ;
elle devient ensuite un outil utilisé pour démontrer d’autres résultats géométriques.

3) Pourquoi éviter de présenter la symétrie axiale comme une application du plan ?

Présenter la symétrie axiale comme une application du plan vers lui-même suppose un niveau d’abstraction important. Une telle approche mobilise implicitement des notions comme :

une application ;
l’image d’un point ;
la bijectivité ;
la conservation de certaines propriétés ;
éventuellement la composition de transformations.

Ces notions ne constituent pas l’objectif principal au niveau de la deuxième année collégiale. Une présentation trop formelle risquerait donc de provoquer une surcharge cognitive et de réduire la symétrie à un ensemble de définitions abstraites.

À ce niveau, il est préférable que l’élève construise une compréhension géométrique et opératoire de la symétrie à travers la construction de points symétriques, l’observation des figures, la manipulation, la mesure, la formulation de conjectures et la justification progressive des propriétés.

4) Outils à adopter pour présenter les propriétés de la symétrie axiale

Le document 1 mentionne explicitement les outils méthodologiques suivants :

des activités bien choisies ;
l’observation ;
l’expérience ;
la mesure ;
l’élaboration de démonstrations simples.

Une démarche possible consiste à faire construire ou manipuler plusieurs figures, puis à demander aux élèves de comparer :

AB et A'B'

les mesures des angles, les positions relatives des points, les aires ou encore l’alignement.

Des supports matériels ou numériques peuvent accompagner cette démarche, par exemple :

le pliage ;
le papier calque ;
le miroir ;
la règle, l’équerre et le compas ;
un logiciel de géométrie dynamique.

5) Types d’activités appropriés pour le chapitre de la symétrie axiale

Le noyau directement déduit du document est constitué des activités de rappel, d’enrichissement et d’expansion. Des activités de construction sont également nécessaires pour faire émerger les propriétés nouvelles ou approfondies.

Activités de rappel

reconnaître une figure symétrique ;
identifier un axe de symétrie ;
construire l’image d’un point ou d’une figure ;
utiliser le pliage ou le quadrillage.

Activités de construction

conservation de la distance ;
conservation de l’alignement ;
conservation des angles ;
conservation de l’aire.

Activités d’enrichissement

les figures possédant plusieurs axes de symétrie ;
les médiatrices ;
les constructions de triangles ou de quadrilatères ;
la justification de propriétés géométriques.

Activités d’expansion ou de prolongement

Elles permettent d’utiliser la symétrie comme outil dans des problèmes nouveaux, notamment des problèmes d’optimisation de trajet, de construction ou de démonstration.

6) Exemple de situation-problème utilisant la symétrie axiale

Énoncé proposé

Deux points A et B sont situés du même côté d’une droite d, représentant une route. On souhaite placer sur la route un point M de manière que la longueur totale

A M + M B

soit minimale. Construire le point M et justifier la construction.

Résolution attendue

On construit B', symétrique de B par rapport à la droite d.

Pour tout point M appartenant à d, la symétrie conserve les distances et laisse M invariant. On a donc :

M B = M B^{'}

Par conséquent :

A M + M B = A M + M B^{'}

Or, d’après l’inégalité triangulaire :

A M + M B^{'} \geq A B^{'}

L’égalité est obtenue lorsque les points A, M et B' sont alignés.

Le point recherché est donc :

M = (A B^{'}) \cap d

Dans cette situation, la symétrie axiale n’est pas l’objet demandé directement : elle est utilisée comme un outil permettant de transformer le problème initial en un problème d’alignement et de plus court chemin.

II.

Nous vous proposons les documents 2 et 3 — extraits et adaptés d’un manuel scolaire — constitués de cinq activités préparatoires à un chapitre prévu pour le niveau du tronc commun scientifique et technologique du cycle secondaire qualifiant :

Le candidat(e) est tenu(e) de lire attentivement les cinq activités ci-dessous qui sont incluses dans les documents 2 et 3 sans y répondre, sauf si cela est demandé dans les questions qui lui seront adressées et qui apparaîtront immédiatement après la dernière activité du document 3.

Document 2

Document 3

Les questions adressées au candidat(e)

1)

Donner un titre convenable à ce chapitre.

2)

Proposer un titre pour chaque activité des deux documents 2 et 3.

3)

Quelles sont les connaissances et les techniques essentielles pour traiter ces activités ?

4)

Traiter l’activité 4 du document 3.

Quelles sont les difficultés que l’élève peut rencontrer lors du traitement de l’activité 4 ?

Identifier deux causes à l’origine de ces difficultés.

5)

Le maniement du cercle trigonométrique est un objectif principal de ce chapitre.

Mentionner deux logiciels en géométrie qui pourraient y contribuer, en justifiant cette possibilité.

6)

On vous propose, dans cette question, l’énoncé d’une situation présentée par un enseignant de mathématiques à ses élèves dans une classe du tronc commun scientifique, accompagnée de la réponse d’un élève.

Afficher : Corrigé détaillé — II. Exploitation des documents 2 et 3Masquer : Corrigé détaillé — II. Exploitation des documents 2 et 3

Corrigé détaillé — II. Exploitation des documents 2 et 3

1) Titre convenable du chapitre

Un titre convenable est :

Cercle trigonométrique : mesure en radians, sinus et cosinus

On peut également accepter :

Cercle trigonométrique, angles orientés et relations trigonométriques

2) Titres proposés pour les cinq activités

Activité	Titre proposé
Activité 1	Mesure d’un angle en radians et longueur d’un arc
Activité 2	Orientation du cercle trigonométrique et abscisses curvilignes
Activité 3	Définition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonométrique
Activité 4	Périodicité, symétries et relations entre angles associés
Activité 5	Résolution graphique d’équations et d’inéquations trigonométriques

Pour l’activité 3, on peut préciser : définition du sinus et du cosinus, valeurs remarquables et relation suivante.

cos^{2} x + sin^{2} x = 1.

3) Connaissances et techniques essentielles

Connaissances nécessaires

la longueur d’un cercle et d’un arc ;
la proportionnalité ;
la mesure des angles en degrés ;
le repère orthonormé ;
les coordonnées d’un point ;
la projection orthogonale ;
le théorème de Pythagore ;
les triangles rectangles isocèles et les triangles équilatéraux ;
la symétrie axiale et la symétrie centrale ;
les intervalles et la comparaison de nombres réels.

Les élèves doivent également comprendre que plusieurs abscisses curvilignes peuvent désigner un même point du cercle :

x, x + 2 π, x - 2 π, x + 2 k π, k \in Z

Techniques à maîtriser

convertir une mesure en degrés en radians et réciproquement ;
calculer la longueur d’un arc ;
orienter un cercle ;
placer un point connaissant son abscisse curviligne ;
réduire un réel modulo 2π ;
lire cos x et sin x comme les coordonnées d’un point ;
calculer les valeurs remarquables ;
utiliser les symétries du cercle trigonométrique ;
établir les formules des angles associés ;
représenter graphiquement les solutions d’une équation ou d’une inéquation trigonométrique ;
tenir compte de l’intervalle imposé.

4 a) Traitement de l’activité 4 du document 3

Posons :

M (x) = (cos x, sin x) .

Pour alléger les écritures, notons :

c = cos x, s = sin x .

Position et coordonnées des différents points

Point	Transformation géométrique	Coordonnées
$M_{1} (x + 2 k π)$	Même point que M	$(c, s)$
$M_{2} (\frac{π}{2} - x)$	Symétrique de M par rapport à la droite y=x	$(s, c)$
$M_{3} (\frac{π}{2} + x)$	Symétrique de M_2 par rapport à l’axe des ordonnées	$(- s, c)$
$M_{4} (π - x)$	Symétrique de M par rapport à l’axe des ordonnées	$(- c, s)$
$M_{5} (π + x)$	Symétrique de M par rapport au centre O	$(- c, - s)$
$M_{6} (- x)$	Symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses	$(c, - s)$

1. Représentation des points

M1 se confond avec M ;
M2 est obtenu par symétrie par rapport à la première bissectrice ;
M3 est l’image de M2 par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
M4 est l’image de M par cette même symétrie ;
M5 est le point diamétralement opposé à M ;
M6 est l’image de M par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

2. Périodicité

M (x + 2 k π) = M (x)

cos (x + 2 k π) = cos x

sin (x + 2 k π) = sin x

Les fonctions sinus et cosinus sont donc 2π-périodiques.

3. Formules de -x

cos (- x) = cos x

sin (- x) = - sin x

4. Formules de π/2 - x

cos (\frac{π}{2} - x) = sin x

sin (\frac{π}{2} - x) = cos x

5. Formules de π/2 + x

cos (\frac{π}{2} + x) = - sin x

sin (\frac{π}{2} + x) = cos x

6. Formules de π - x et π + x

cos (π - x) = - cos x

sin (π - x) = sin x

cos (π + x) = - cos x

sin (π + x) = - sin x

4 b) Difficultés possibles lors du traitement de l’activité 4

Confondre l’abscisse curviligne et l’abscisse cartésienne.
Comprendre la non-unicité de l’abscisse curviligne.
Identifier les transformations géométriques.
Gérer les signes des coordonnées.
Passer de la figure aux identités algébriques.
Traiter plusieurs points et plusieurs notations simultanément.
Utiliser l’isométrie des triangles dans le cas général.
Comprendre l’énoncé incomplet de la dernière question.

4 c) Deux causes principales de ces difficultés

Cause conceptuelle ou épistémologique

Le cercle trigonométrique associe un même point à une infinité de réels :

x + 2 k π, k \in Z .

Cette rupture avec l’idée habituelle d’une correspondance unique entre un nombre et un point peut être difficile. L’élève doit également distinguer des longueurs positives de coordonnées algébriques signées.

Cause didactique

L’activité regroupe en une seule séquence un nombre élevé de notions : périodicité, parité, angles complémentaires, angles supplémentaires, symétries axiales, symétrie centrale et lecture des coordonnées.

5) Deux logiciels pouvant contribuer au maniement du cercle trigonométrique

GeoGebra

GeoGebra permet de construire un cercle trigonométrique dynamique et d’associer à un curseur x un point :

M = (cos x, sin x) .

le déplacement de M ;
les projections sur les axes ;
les valeurs de cos x et sin x ;
les changements de signes selon les quadrants ;
la périodicité ;
les images par symétrie ;
les ensembles de solutions d’équations et d’inéquations.

Cabri Géomètre

orienter le cercle ;
construire les images de M par différentes symétries ;
matérialiser les angles associés ;
construire les projections orthogonales ;
observer les invariants ;
comparer les coordonnées de points symétriques.

Document 4

L’énoncé de la situation — Document 4

Soit x un réel de l’intervalle

] 0, \frac{π}{2} [

tel que :

cos (x) sin (x) = \frac{1}{2} .

Montrer que

cos (x) = sin (x)

puis déduire la valeur de x.

La réponse de l’élève

On considère le cercle trigonométrique C et le repère orthonormé qui lui est attaché (O,I,J).

Soit M(x) un point du cercle C, et H et K ses projetés orthogonaux respectifs sur (OI) et (OJ).

On considère le point T(1;1).

On remarque que l’aire du rectangle OHMK vaut la moitié de l’aire du carré OITJ quand le point M appartient à la droite (OT). Dans ce cas, le rectangle OHMK est un carré et son aire devient minimale. On obtient donc :

cos (x) = sin (x) .

Par suite :

x = 4 5^{\circ} .

Questions — Document 4

Dans quel cadre s’inscrit la réponse de l’élève ?

Quels outils l’élève a-t-il utilisés dans la solution ?

Identifier les erreurs contenues dans la réponse de l’élève.

Apporter les modifications nécessaires à la réponse de l’élève en s’aidant d’une interprétation géométrique de la situation proposée.

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Document 4 — Analyse de la réponse de l’élève

a) Cadre dans lequel s’inscrit la réponse

La réponse s’inscrit dans un cadre géométrique.

On peut donc parler d’un passage :

cadre trigonom \overset{e}{ˊ} trique-alg \overset{e}{ˊ} brique ⟶ cadre g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique .

b) Outils utilisés par l’élève

le cercle trigonométrique ;
un repère orthonormé ;
les projections orthogonales H et K ;
l’interprétation de cos x et de sin x comme coordonnées de M ;
le rectangle OHMK ;
le carré OITJ ;
la droite OT, première bissectrice ;
l’aire d’un rectangle et celle d’un carré.

c) Erreurs contenues dans la réponse de l’élève

implication réciproque non démontrée ;
confusion entre minimum et maximum ;
absence de justification du cas d’égalité ;
non-respect de l’unité en radians dans la conclusion.

Figure du document 4 — cercle trigonométrique, rectangle OHMK et droite OT

d) Réponse corrigée à l’aide d’une interprétation géométrique

Dans le cercle trigonométrique, le point M a pour coordonnées :

M (cos x, sin x) .

Par conséquent :

O H = cos x et O K = sin x .

L’aire du rectangle OHMK est :

A (O H M K) = O H \times O K = cos x sin x = \frac{1}{2} .

Comme M appartient au cercle trigonométrique :

O M = 1.

Dans le triangle rectangle OHM, le théorème de Pythagore donne :

O H^{2} + O K^{2} = O M^{2} = 1.

D’autre part :

2 O H \cdot O K = 2 \times \frac{1}{2} = 1.

Ainsi :

(O H - O K)^{2} = O H^{2} + O K^{2} - 2 O H \cdot O K = 1 - 1 = 0.

Donc :

O H = O K .

Le rectangle OHMK est donc un carré, et le point M appartient à la première bissectrice OT.

Ainsi :

cos x = sin x .

Comme :

Comme x appartient à l’intervalle ]0, π/2[, l’unique valeur correspondante est donc :

x = \frac{π}{4} .

On peut également présenter l’argument sous la forme :

2 O H \cdot O K \leq O H^{2} + O K^{2} = 1,

avec égalité si et seulement si OH = OK.

Troisième partie

Un enseignant a proposé à ses élèves d’une classe de la première année du baccalauréat, section sciences économiques, la situation suivante (document 5) :

Document 5

Le mobilier d’une bibliothèque doit être changé pour contenir au moins 4 400 livres de petit format et 2 600 livres de grand format.

Un premier fournisseur propose des meubles de type A pouvant contenir 110 livres de petit format et 100 livres de grand format, pour un prix de 4 000 DH.

Un deuxième fournisseur propose des meubles de type B pouvant contenir 220 livres de petit format et 100 livres de grand format, pour un prix de 6 000 DH.

Par ailleurs, le responsable de la bibliothèque a pour consigne de ne passer aucune commande supérieure à 96 000 DH chez un même fournisseur.

Déterminer le nombre de meubles à commander chez chacun des fournisseurs pour que la dépense soit minimale.

Tableau à compléter

Phases	Tâches de l’enseignant	Tâches de l’élève
Présentation et appropriation de la situation
Recherche
Partage et échange
Institutionnalisation du résultat

2)

Proposer une solution à cette situation.

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Corrigé détaillé — Troisième partie

1) Tâches de l’enseignant et tâches de l’élève

Phase	Tâches de l’enseignant	Tâches de l’élève
Présentation et appropriation de la situation	Présenter le document 5 sans donner la méthode. Faire lire l’énoncé. Clarifier le vocabulaire : « au moins », « dépense minimale », « chez un même fournisseur ». Demander une reformulation. Faire identifier les données, les inconnues et l’objectif. Organiser les élèves individuellement ou en groupes.	Lire et reformuler la situation. Identifier les deux types de meubles, leurs capacités et leurs prix. Comprendre les contraintes de capacité et de budget. Identifier ce qu’il faut déterminer. Proposer des inconnues, par exemple x et y.
Recherche	Laisser un temps réel de recherche. Observer les démarches sans imposer immédiatement une méthode. Poser des questions de relance. Fournir éventuellement un repère ou un support graphique.	Poser x et y, traduire les données en inéquations, écrire la fonction coût, représenter les contraintes, rechercher les points admissibles, calculer les coûts ou tester différentes combinaisons. Produire une solution argumentée.
Partage et échange	Sélectionner plusieurs productions, y compris certaines comportant des erreurs intéressantes. Organiser la présentation des stratégies. Faire comparer la recherche graphique, l’énumération et le raisonnement algébrique. Demander aux élèves de justifier et de valider les résultats.	Présenter la démarche du groupe. Expliquer le sens de chaque contrainte. Comparer les solutions. Questionner les autres productions. Repérer les erreurs, proposer des corrections et participer à la validation collective.
Institutionnalisation du résultat	Formaliser la modélisation par un système d’inéquations. Identifier le domaine admissible et la fonction objectif. Rappeler que l’optimum d’une fonction affine sur un polygone est recherché aux sommets. Vérifier la condition d’intégralité. Formuler clairement la décision finale et la méthode générale.	Prendre note de la synthèse. Relier les démarches personnelles à la méthode institutionnalisée. Vérifier la solution dans l’énoncé. Rédiger la conclusion avec les unités et le coût minimal.

2) Résolution mathématique de la situation

Choix des inconnues

x = nombre de meubles de type A,

y = nombre de meubles de type B .

x, y \in N .

Contraintes relatives aux livres de petit format

110 x + 220 y \geq 4400.

x + 2 y \geq 40 .

Contraintes relatives aux livres de grand format

100 x + 100 y \geq 2600.

x + y \geq 26 .

Contraintes budgétaires chez chaque fournisseur

4000 x \leq 96000 \Rightarrow x \leq 24 .

6000 y \leq 96000 \Rightarrow y \leq 16 .

Système des contraintes

{x + 2 y \geq 40, x + y \geq 26, 0 \leq x \leq 24, 0 \leq y \leq 16, x, y \in N .

Fonction à minimiser

C (x, y) = 4000 x + 6000 y .

Méthode graphique

Les principaux sommets du domaine admissible sont :

(10, 16), (24, 16), (24, 8), (12, 14) .

Sommet	Coût
$(10, 16)$	$4000 (10) + 6000 (16) = 136000 DH$
$(24, 16)$	$4000 (24) + 6000 (16) = 192000 DH$
$(24, 8)$	$4000 (24) + 6000 (8) = 144000 DH$
$(12, 14)$	$4000 (12) + 6000 (14) = 132000 DH$

Le coût minimal est donc obtenu au point :

(x, y) = (12, 14) .

Vérification algébrique directe

C (x, y) = 4000 x + 6000 y = 2000 (2 x + 3 y) .

2 x + 3 y = (x + 2 y) + (x + y) .

2 x + 3 y \geq 40 + 26 = 66.

C (x, y) \geq 2000 \times 66 = 132 000.

Pour obtenir l’égalité, il faut simultanément :

x + 2 y = 40

x + y = 26.

En soustrayant les deux équations :

y = 14, x = 12.

Vérification dans la situation

110 (12) + 220 (14) = 1320 + 3080 = 4400.

100 (12) + 100 (14) = 1200 + 1400 = 2600.

4000 (12) = 48000 DH \leq 96000 DH .

6000 (14) = 84000 DH \leq 96000 DH .

Conclusion

12 meubles de type A

14 meubles de type B

132000 DH