Domaine 3

المسائل الرياضية التطبيقية

Problèmes mathématiques appliqués

درس مركز حول نمذجة المسائل والمعادلات والمقادير والتحويلات والتطبيقات العملية.

Cours ciblé sur la mise en équation, les grandeurs, les conversions et les problèmes concrets.

Durée conseillée35 à 45 minutes

ObjectifApprendre à traduire rapidement un énoncé en calculs ou en équations, puis choisir la méthode la plus efficace dans un QCM de concours.

Objectifs du cours

À la fin de ce cours, vous devez être capable de :

extraire les données utiles et identifier l’inconnue recherchée ;
convertir correctement les unités ;
résoudre des problèmes de vitesse, de croisement et de rattrapage ;
calculer un débit net et une durée de remplissage ;
combiner les rendements de plusieurs travailleurs ;
résoudre des problèmes de proportionnalité et de production ;
calculer une aire, un périmètre ou une surface à peindre ;
traduire un problème en équation ou en système ;
résoudre des problèmes d’âges, de partages et de quantités ;
utiliser les progressions arithmétiques et les divisions avec reste ;
vérifier la cohérence d’un résultat avant de choisir une réponse.

Méthode générale de résolution

Étape 1 — Identifier la question

Repérez exactement l’inconnue : distance, durée, vitesse, quantité, prix, nombre d’objets, aire ou heure de rencontre.

Étape 2 — Relever les données utiles

Écrivez les informations sous une forme courte, avec leurs unités et les directions de déplacement.

Étape 3 — Uniformiser les unités

$40 min = \frac{40}{60} h = \frac{2}{3} h$ et $2 h 40 min = 2 + \frac{40}{60} = \frac{8}{3} h$ .

Étape 4 — Choisir la relation adaptée

$d = v \times t$ , $t = \frac{d}{v}$ , quantité = débit × temps ou aire = longueur × largeur.

Étape 5 — Effectuer les calculs

Présentez les opérations dans un ordre logique afin de détecter les pièges des propositions.

Étape 6 — Vérifier le résultat

Contrôlez l’unité, le signe, la vraisemblance et toutes les données de départ.

Vitesse, distance et temps

d = v \times t v = \frac{d}{t} t = \frac{d}{v}

3.1 Calculer une distance

Autocar à 90 km/h pendant 2 h 40 min

2 h 40 min = 2 + \frac{40}{60} = \frac{8}{3} h

d = 90 \times \frac{8}{3} = 240 km

3.2 Calculer une durée

Exemple

Pour 180 km à 60 km/h :

t = \frac{180}{60} = 3 h

3.3 Calculer une vitesse

Exemple

45 km en 2 h 30 min :

2, 5 h

, donc

v = \frac{45}{2 , 5} = 18 km/h

Conversion des durées

4.1 Des minutes vers les heures

m minutes = \frac{m}{60} heure

15 min = 0, 25 h, 30 min = 0, 5 h, 45 min = 0, 75 h

20 min = \frac{1}{3} h, 40 min = \frac{2}{3} h

4.2 Des heures décimales vers les heures et minutes

Multiplier la partie décimale par 60.

2, 75 h = 2 h 45 min car 0, 75 \times 60 = 45

7, 2 h = 7 h 12 min car 0, 2 \times 60 = 12

Problèmes de croisement

v_{rapprochement} = v_{1} + v_{2} et t = \frac{distance initiale}{v _{1} + v _{2}}

Départs simultanés

Deux voitures partent à 8 h 20, distantes de 315 km, à 70 km/h et 35 km/h.

70 + 35 = 105 km/h t = \frac{315}{105} = 3 h

Rencontre à 11 h 20.

Départs décalés

A part à 8 h à 70 km/h, B part à 9 h à 50 km/h, pour 400 km.

400 - 70 = 330 km 70 + 50 = 120 km/h

t = \frac{330}{120} = 2, 75 h = 2 h 45 min

Rencontre à 11 h 45.

Problèmes de rattrapage

v_{relative} = v_{rapide} - v_{lent} t = \frac{avance initiale}{v _{relative}}

Ali et Sara

Ali part à 8 h à 5 km/h. Sara part à 8 h 30 à 7,5 km/h.

avance = 5 \times 0, 5 = 2, 5 km

v_{relative} = 7, 5 - 5 = 2, 5 km/h t = \frac{2 , 5}{2 , 5} = 1 h

Sara rattrape Ali à 9 h 30.

Vitesse moyenne

v_{moyenne} = \frac{distance totale}{temps total}

24 km à 12 km/h, puis 24 km à 24 km/h

t_{1} = \frac{24}{12} = 2 h t_{2} = \frac{24}{24} = 1 h

v_{moyenne} = \frac{48}{3} = 16 km/h

Débits et remplissage

Quantit \overset{e}{ˊ} = d \overset{e}{ˊ} bit \times temps et temps = \frac{quantit e ˊ}{d e ˊ bit}

8.1 Débit total

d_{total} = d_{1} + d_{2} + \dots

8.2 Présence d’une fuite

d_{net} = d_{entr \overset{e}{ˊ} es} - d_{sorties}

Réservoir de 600 litres

Deux robinets débitent 18 L/min et 12 L/min, tandis qu’une fuite évacue 5 L/min.

d_{net} = 18 + 12 - 5 = 25 L/min t = \frac{600}{25} = 24 min

Travail réalisé par plusieurs personnes

Une personne qui termine un travail en $T$ heures réalise $1/ T$ du travail par heure.

Ouvriers travaillant en 12 h et 18 h

\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}

t = \frac{36}{5} = 7, 2 h = 7 h 12 min

Proportionnalité et production

Production = cadence \times temps et cadence = \frac{production}{temps}

480 pièces en 6 heures

\frac{480}{6} = 80 pi \overset{e}{ˋ} ces/h 80 \times 10 = 800 pi \overset{e}{ˋ} ces

Temps	Production
6 h	480
1 h	80
10 h	800

Problèmes de gouttes et de petites unités

Une goutte toutes les 2 secondes et 15 gouttes pour 1 mL

1 h = 3600 s \frac{3 600}{2} = 1800 gouttes

\frac{1 800}{15} = 120 mL = 0, 12 L

Périmètres et aires

Figure	Périmètre	Aire
Rectangle	$P = 2 (L + l)$	$A = L \times l$
Carré	$P = 4 c$	$A = c^{2}$
Triangle	$-$	$A = \frac{base \times hauteur}{2}$
Cercle	$P = 2 π r$	$A = π r^{2}$

Pour un carré d’aire connue : $c = A$ .

Surface des murs d’une pièce

A_{murs} = p \overset{e}{ˊ} rim \overset{e}{ˋ} tre de la pi \overset{e}{ˋ} ce \times hauteur = 2 (L + l) h

Pièce de 5 m sur 4 m, haute de 2,8 m

2 (5 + 4) = 18 m 18 \times 2, 8 = 50, 4 m^{2}

Soustraire ensuite l’aire des portes et fenêtres si elles sont mentionnées.

Retrouver le côté d’un carré à partir de son aire

Terrain carré de 196 m²

c = 196 = 14 m P = 4 \times 14 = 56 m

Aire d’une bordure intérieure

L_{int} = L - 2 a l_{int} = l - 2 a A_{bordure} = A_{ext \overset{e}{ˊ} rieur} - A_{int \overset{e}{ˊ} rieur}

Jardin de 20 m sur 15 m avec une allée intérieure de 1 m

A_{total} = 20 \times 15 = 300 m^{2}

L_{int} = 18 m, l_{int} = 13 m, A_{int} = 18 \times 13 = 234 m^{2}

A_{all \overset{e}{ˊ} e} = 300 - 234 = 66 m^{2}

Traduire un problème en équation

choisir une lettre ;
traduire chaque phrase en expression mathématique ;
écrire l’équation ;
résoudre ;
vérifier dans l’énoncé.

Problème d’âge

Un père a trois fois l’âge de son fils. Dans 10 ans, il aura deux fois son âge.

x = \overset{a}{ˆ} ge actuel du fils 3 x + 10 = 2 (x + 10)

3 x + 10 = 2 x + 20 ⟹ x = 10

Le fils a 10 ans et le père 30 ans. Dans 10 ans : $40 = 2 \times 20$ .

Systèmes de deux équations

{a x + b y = c d x + ey = f

Les deux méthodes principales sont la substitution et l’élimination.

Cahiers et stylos

3 cahiers et 2 stylos coûtent 46 DH ; 2 cahiers et 5 stylos coûtent 49 DH.

{3 x + 2 y = 46 2 x + 5 y = 49

15 x + 10 y = 230, 4 x + 10 y = 98 ⟹ 11 x = 132 ⟹ x = 12

3 \times 12 + 2 y = 46 ⟹ y = 5

Un cahier coûte 12 DH et un stylo 5 DH.

Problèmes de vente de deux catégories

Livres à 30 DH et romans à 50 DH

40 articles sont vendus pour 1 500 DH.

{x + y = 40 30 x + 50 y = 1500

3 x + 5 y = 150, 3 x + 3 y = 120 ⟹ 2 y = 30

y = 15 x = 25

25 \times 30 + 15 \times 50 = 1500

Problèmes de têtes et de pattes

26 têtes et 74 pattes

{p + l = 26 2 p + 4 l = 74

p + 2 l = 37 ⟹ l = 11, p = 15

Il y a 11 lapins et 15 poules.

Méthode rapide

26 \times 2 = 52 pattes, 74 - 52 = 22, \frac{22}{4 - 2} = 11 lapins

Partages proportionnels

Pour un rapport $a : b : c$ , calculer d’abord le total des parts $a + b + c$ .

840 DH partagés selon le rapport 2 : 3 : 5

2 + 3 + 5 = 10 \frac{840}{10} = 84 DH par part

A = 168 DH, B = 252 DH, C = 420 DH

168 + 252 + 420 = 840

Progressions arithmétiques appliquées

a_{n + 1} = a_{n} + r a_{n} = a_{1} + (n - 1) r S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) r]

15 rangées de sièges

La première contient 18 sièges et chaque rangée suivante en ajoute 2.

a_{15} = 18 + (15 - 1) \times 2 = 46

S_{15} = \frac{15 ( 18 + 46 )}{2} = 480

Quantité initiale inconnue

Une personne coupe 40 arbres de plus chaque année pendant 12 ans, pour un total de 12 000.

12000 = \frac{12}{2} [2 x + 11 \times 40] = 6 (2 x + 440)

2 x + 440 = 2000 ⟹ x = 780

a_{12} = 780 + 11 \times 40 = 1220 \frac{780 + 1 220}{2} \times 12 = 12000

Division euclidienne et problèmes de restes

N = d q + r avec 0 \leq r < d

Exemple simple

N = 7 \times 12 + 3 = 87

Deux divisions successives

La division de N par 7 donne le quotient q et le reste 5. La division de q par 7 donne le quotient 12 et le reste 3.

q = 7 \times 12 + 3 = 87

N = 7 \times 87 + 5 = 614

Méthodes rapides pour le concours

Dessiner une ligne pour les déplacements

Visualisez directions, distances et heures de départ.

Calculer une vitesse relative

Addition en sens opposés ; différence dans le même sens.

Revenir à une unité

$production horaire = \frac{production totale}{nombre d’heures}$ .

Calculer le débit net

$d \overset{e}{ˊ} bit net = entr \overset{e}{ˊ} es - sorties$ .

Utiliser les rendements

$rendement commun = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .

Écrire deux équations pour deux catégories

Utilisez une équation sur le total et une autre sur le prix, les pattes, les points ou la recette.

Vérifier avec les propositions

Tester les réponses peut être rapide si les valeurs sont entières, mais ne remplace pas la compréhension.

Pièges fréquents

Additionner les vitesses dans un rattrapage au lieu de les soustraire.
Oublier l’avance initiale d’une personne partie plus tôt.
Écrire 2 h 30 comme 2,30 h au lieu de 2,5 h.
Faire la moyenne simple des vitesses au lieu de distance totale ÷ temps total.
Additionner les durées de travail au lieu des rendements.
Confondre aire, exprimée en m², et périmètre, exprimé en m.
Oublier qu’une bordure intérieure de 1 m réduit chaque dimension de 2 m.
Ne pas vérifier les deux équations d’un système.
Oublier le reste dans la relation N = dq + r.
Utiliser la somme d’une progression sans calculer le dernier terme.

Résumé à retenir

Formules de déplacement

Notion	Formule
Distance	$d = v t$
Vitesse	$v = \frac{d}{t}$
Temps	$t = \frac{d}{v}$
Croisement	$t = \frac{d}{v _{1} + v _{2}}$
Rattrapage	$t = \frac{avance}{v _{rapide} - v _{lent}}$
Vitesse moyenne	$\frac{distance totale}{temps total}$

Formules de débit et de travail

Notion	Formule
Quantité	$Q = d \times t$
Temps de remplissage	$t = \frac{Q}{d _{net}}$
Débit net	$entr \overset{e}{ˊ} es - sorties$
Rendement d’un travailleur	$\frac{1}{T}$
Rendement commun	$somme des rendements$

Formules de géométrie

Situation	Formule
Périmètre du rectangle	$2 (L + l)$
Aire du rectangle	$L \times l$
Périmètre du carré	$4 c$
Aire du carré	$c^{2}$
Aire du triangle	$\frac{bh}{2}$
Surface des murs	$2 (L + l) h$

Formules arithmétiques

Notion	Formule
Partage proportionnel	$\frac{total}{somme des parts}$
Terme d’une progression	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$
Somme d’une progression	$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$
Division euclidienne	$N = d q + r$

Fiche express avant le QCM

Quelle est l’inconnue ?
Ai-je relevé toutes les données utiles ?
Les unités sont-elles compatibles ?
Les véhicules vont-ils dans le même sens ou en sens opposés ?
Existe-t-il une avance initiale ?
Dois-je additionner ou soustraire les débits ?
Dois-je additionner des rendements plutôt que des durées ?
S’agit-il d’une aire ou d’un périmètre ?
La bordure est-elle intérieure ou extérieure ?
Le problème contient-il une ou deux inconnues ?
Ai-je écrit une équation par information indépendante ?
Le partage est-il proportionnel ?
La suite est-elle arithmétique ?
Ai-je ajouté le reste ?
Mon résultat vérifie-t-il toutes les conditions de l’énoncé ?

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