Inspecteurs · Analyse 40 % · Fiche 1

Suites numériques

Cours ciblé sur les résultats à mobiliser au concours : définitions, limites, suites remarquables, critères de convergence et suites récurrentes. Chaque notion est accompagnée d’exemples détaillés et de réflexes méthodologiques.

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1. Définitions et vocabulaire

Une suite numérique est une application $u : N \to R$ . L’image de $n$ est notée $u_{n}$ et appelée terme de rang $n$ . Une suite peut être donnée par une formule explicite ou par une relation de récurrence accompagnée d’un terme initial.

Bornes

$(u_{n})$ est majorée s’il existe $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ ; elle est minorée s’il existe $m$ tel que $m \leq u_{n}$ . Elle est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.

Monotonie

La suite est croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ , décroissante si $u_{n + 1} \leq u_{n}$ et monotone si elle vérifie l’une de ces deux propriétés.

Exemple — intérêts composés

Un capital initial $S$ placé à un taux annuel de $10%$ est multiplié chaque année par $1, 1$ . La suite des capitaux est donc géométrique :

S_{0} = S, S_{1} = 1, 1 S, S_{n} = S (1, 1)^{n}

Après dix ans, $S_{10} = S (1, 1)^{10} ≃ 2, 59 S$ . Le capital a donc été multiplié par environ $2, 59$ .

Réflexe concours : reconnaître immédiatement une suite géométrique et identifier son premier terme et sa raison.

Exemples rapides — bornes et variations

$u_{n} = (- 1)^{n} / n$ n’est ni croissante ni décroissante. Elle est bornée, par exemple par $- 1 \leq u_{n} \leq 1/2$ .
$v_{n} = 1/ n$ pour $n \geq 1$ est positive et strictement décroissante car $v_{n + 1} < v_{n}$ .

2. Limites

Définitions à connaître

$u_{n} \to ℓ$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient tous les termes à partir d’un certain rang.
$u_{n} \to + \infty$ si, pour tout réel $A$ , on a $u_{n} \geq A$ à partir d’un certain rang. La définition de $- \infty$ est analogue.
Une suite est convergente si elle admet une limite réelle finie ; sinon elle diverge.
Une suite convergente possède une limite unique.

Règles opératoires

Somme, produit et quotient suivent les règles usuelles, sous réserve que le quotient soit défini et que le dénominateur ait une limite non nulle. Les formes $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $0/0$ et $\infty/\infty$ sont indéterminées : il faut transformer l’expression.

Théorème des gendarmes

Si, à partir d’un certain rang, $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ et si $v_{n} \to ℓ$ et $w_{n} \to ℓ$ , alors $u_{n} \to ℓ$ .

Exemple — réduction ferroviaire

Sans réduction, $n$ trajets coûtent $u_{n} = 20 n$ dirhams. Avec une carte à 50 dirhams et des billets à 10 dirhams, le coût est $v_{n} = 10 n + 50$ .

Le taux réel de réduction est :

1 - \frac{v _{n}}{u _{n}} = 1 - \frac{10 n + 50}{20 n} = \frac{1}{2} - \frac{5}{2 n}

Comme $5/ (2 n) \to 0$ , ce taux tend vers $1/2$ . La réduction de 50 % n’est donc atteinte qu’asymptotiquement ; le prix de la carte pèse encore pour tout nombre fini de trajets.

Exemple — encadrement

On considère :

u_{n} = 2 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{1 + n + n ^{2}}

Comme $- 1 \leq (- 1)^{n} \leq 1$ et $1 + n + n^{2} > 0$ , on obtient :

2 - \frac{1}{1 + n + n ^{2}} \leq u_{n} \leq 2 + \frac{1}{1 + n + n ^{2}}

Les deux bornes tendent vers $2$ . Le théorème des gendarmes donne donc $u_{n} \to 2$ .

3. Suites remarquables

Suite géométrique

$a = 1$

a^{n} = 1

pour tout

n

$a > 1$

a^{n} \to + \infty

$- 1 < a < 1$

a^{n} \to 0

$a \leq - 1$ La suite

(a^{n})

diverge.

Pour $a \neq = 1$ :

k = 0 \sum n a^{k} = \frac{1 - a ^{n + 1}}{1 - a}

Si $∣ a ∣ < 1$ , alors $\sum_{k = 0}^{+ \infty} a^{k} = 1/ (1 - a)$ .

Exemple — paradoxe de Zénon

Avec $a = 1/2$ , la distance totale formée par les demi-distances successives vaut :

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = \frac{1}{1 - 1/2} = 2

Une flèche située à 2 mètres de sa cible et avançant à 1 m/s parcourt donc la distance totale en 2 secondes, malgré l’infinité des étapes du découpage.

Critère du quotient

Si les termes sont non nuls et s’il existe $q < 1$ tel que, à partir d’un certain rang, $∣ u_{n + 1} / u_{n} ∣ \leq q$ , alors $u_{n} \to 0$ . En particulier, si $u_{n + 1} / u_{n} \to 0$ , alors $u_{n} \to 0$ .

Exemple — exponentielle contre factorielle

Pour un réel fixé $a$ , posons :

u_{n} = \frac{a ^{n}}{n !}

Le quotient de deux termes consécutifs est :

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{∣ a ∣}{n + 1} ⟶ 0

Donc $a^{n} / n! \to 0$ . La factorielle domine toute puissance exponentielle de base fixe.

Exemple — approximation décimale de π

Pour un réel $a$ , on pose $u_{n} = ⌊ 1 0^{n} a ⌋ /1 0^{n}$ . Pour $a = π$ :

u_{0} = 3, u_{1} = 3, 1, u_{2} = 3, 14, u_{3} = 3, 141

On a $0 \leq a - u_{n} < 1 0^{- n}$ . Comme $1 0^{- n} \to 0$ , le théorème des gendarmes donne $u_{n} \to a$ .

4. Théorèmes de convergence

Toute suite convergente est bornée.
Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.
Une suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ .
Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
Toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite.
Toute suite réelle bornée possède une sous-suite convergente (Bolzano–Weierstrass).

Exemples — ζ(2) et la suite harmonique

Pour $u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} 1/ k^{2}$ , on a $u_{n + 1} - u_{n} = 1/ (n + 1)^{2} > 0$ : la suite est croissante. On dispose de l’encadrement $u_{n} \leq 2 - 1/ n < 2$ . Elle est donc majorée et converge. Sa limite est notée $ζ (2)$ et vaut $π^{2} /6$ .

À l’inverse, pour $h_{n} = \sum_{k = 1}^{n} 1/ k$ , chaque bloc $1/ (2^{p - 1} + 1) + \dots + 1/ 2^{p}$ contient $2^{p - 1}$ termes chacun au moins égal à $1/ 2^{p}$ . Le bloc vaut donc au moins $1/2$ . Ainsi $h_{2^{p}} \geq 1 + p /2$ et $h_{n} \to + \infty$ .

Attention : une suite de sommes partielles positive et croissante ne converge que si l’on prouve aussi qu’elle est majorée.

Suites adjacentes

Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante, si $u_{n} \leq v_{n}$ et si $v_{n} - u_{n} \to 0$ .

Exemple — encadrement de ζ(2)

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}}, v_{n} = u_{n} + \frac{2}{n + 1}

$u_{n + 1} - u_{n} = 1/ (n + 1)^{2} > 0$ : $(u_{n})$ est croissante.
$v_{n + 1} - v_{n} = - n / ((n + 2) (n + 1)^{2}) < 0$ : $(v_{n})$ est décroissante.
$v_{n} - u_{n} = 2/ (n + 1) \to 0$ .

Les deux suites sont adjacentes et ont la même limite $ℓ$ . Pour $n = 3$ :

1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \leq ℓ \leq 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{2}

Numériquement : $1, 3611 \dots \leq ℓ \leq 1, 8611 \dots$ .

Sous-suites : test rapide de divergence

Exemple — alternance

Pour $u_{n} = (- 1)^{n}$ , la sous-suite paire vérifie $u_{2 n} = 1$ et la sous-suite impaire $u_{2 n + 1} = - 1$ . Elles ont des limites différentes.

La suite $((- 1)^{n})$ diverge.

5. Suites récurrentes

Une suite récurrente de premier ordre est définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ et un terme initial $u_{0}$ . Si $f$ est continue et si $u_{n} \to ℓ$ , alors la limite est nécessairement un point fixe :

f (ℓ) = ℓ

Cette équation fournit seulement les limites possibles. Il faut d’abord prouver la convergence de la suite.

Fonction croissante sur un intervalle stable

Si $f : [a, b] \to [a, b]$ est continue et croissante, le signe de $u_{1} - u_{0}$ fixe le sens de variation de la suite. La monotonie et l’invariance de $[a, b]$ permettent ensuite d’appliquer le théorème de convergence monotone.

Exemple — trois points fixes

f (x) = \frac{1}{4} (x^{2} - 1) (x - 2) + x, u_{n + 1} = f (u_{n}), u_{0} \in [0, 2]

Sur $[0, 2]$ , la fonction est croissante et conserve l’intervalle. Les points fixes sont obtenus par :

f (x) = x ⟺ \frac{1}{4} (x^{2} - 1) (x - 2) = 0 ⟺ x \in {- 1, 1, 2}

Si $u_{0} = 1$ ou $u_{0} = 2$ , la suite est constante.
Si $0 \leq u_{0} < 1$ , elle est croissante et majorée par $1$ .
Si $1 < u_{0} < 2$ , elle est décroissante et minorée par $1$ .

Dans les deux derniers cas, la suite converge vers l’unique point fixe compatible avec l’intervalle d’encadrement : $ℓ = 1$ .

Fonction décroissante

On étudie séparément $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ , qui sont des suites récurrentes associées à la fonction croissante $f \circ f$ .

Exemple — nombre d’or

u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{u _{n}}, u_{0} > 0

La fonction $f (x) = 1 + 1/ x$ est décroissante sur $] 0, + \infty [$ . On compose :

(f \circ f) (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}

Les points fixes de $f \circ f$ vérifient :

\frac{2 x + 1}{x + 1} = x ⟺ x^{2} - x - 1 = 0

Le seul point fixe positif est $φ = (1 + 5) /2$ . Les sous-suites paire et impaire sont monotones en sens opposés, encadrées l’une par l’autre, et convergent toutes deux vers $φ$ .

Par conséquent, la suite entière converge vers $(1 + 5) /2$ .

6. Méthode concours

Identifier la forme : explicite, géométrique, somme partielle ou récurrente.
Tester les outils immédiats : quotient, comparaison, encadrement, factorisation ou sous-suites.
Pour une récurrence : trouver un intervalle stable, étudier les variations, établir la monotonie et les bornes.
Ne résoudre l’équation $f (ℓ) = ℓ$ qu’après avoir justifié la convergence.
Conclure explicitement : limite finie, limite infinie ou divergence.

Pour prouver une convergence

Gendarmes, comparaison, monotonie + borne, suites adjacentes ou critère du quotient.

Pour prouver une divergence

Deux sous-suites de limites distinctes, absence de borne pour une suite monotone, ou croissance vers l’infini.

Piège classique

Une suite bornée ne converge pas nécessairement : $(- 1)^{n}$ est le contre-exemple de référence.