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Pour tout entier naturel $n$ , soit $P (n)$ une proposition portant sur $n$ , et telle que si $P (n)$ est vraie alors $P (n + 1)$ l’est aussi.

On suppose qu’il existe un entier naturel $n_{0}$ tel que $P (n_{0})$ soit fausse.

Cocher la conclusion juste qu’on peut en tirer :

P (n_{0} + 1)

est fausse

P (n)

est fausse pour tout entier

n \leq n_{0}

P (n)

est fausse pour tout entier

n \geq n_{0}

P (n)

est fausse pour tout entier

n

Soit $A$ une partie non vide de $R$ .

Cocher la propriété qui implique que $A$ est un intervalle :

\forall (a, b) \in A^{2}, \forall x \in R, (a < x < b) \Rightarrow (x \in A)

\exists (a, b) \in A^{2}, \forall x \in R, (a < x < b) \Rightarrow (x \in A)

\exists (a, b) \in R^{2}, \forall x \in R, (a < x < b) \Rightarrow (x \in A)

\exists (a, b) \in R^{2}, \forall x \in R, (a < x < b) \Leftrightarrow (x \in A)

Soient $E$ une partie de $C$ et :

f : E \to E, x \mapsto x^{2} .

Parmi les assertions suivantes, cocher celle qui est vraie :

E = R

, alors

f

est injective et non surjective.

E = R^{*}

, alors

f

est non injective et surjective.

E = R^{+} = [0, + \infty [

, alors

f

est non injective et non surjective.

E = C

, alors

f

est non injective et surjective.

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geq 5$ . En considérant la fonction numérique :

f : x \mapsto (3 + x)^{n},

cocher l’assertion qui est vraie :

\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} k 3^{n - k} = 4^{n - 1} n

\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} k 3^{n - k} = 4^{n} n

\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} k 3^{n - k} = 4^{n + 1} n

\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} k 3^{n - k} = 4^{n + 1}

Soit $a \in R$ . On définit la suite $((u_{n})_{n \geq 0})$ par :

u_{0} = a

et, pour $n \geq 0$ ,

u_{n + 1} = e^{- u_{n}} - 2.

Cocher, parmi les assertions suivantes, celle qui est juste :

La suite

((u_{n})_{n \geq 0})

ne converge pour aucune valeur de

a

telle que

a \in] - \infty, - ln (2)] \cup [0, + \infty [

Pour

a = 0

, la suite

((u_{n})_{n \geq 1})

est décroissante.

Pour

a = 10

, la suite

((u_{n})_{n \geq 1})

tend vers

(- \infty)

Pour

a = - 0, 5

, la suite

((u_{n})_{n \geq 1})

est convergente.

On considère les deux suites $((u_{n})_{n \in N})$ et $((v_{n})_{n \in N})$ définies par :

u_{0} = 0, u_{1} = 1

\forall n \geq 0, u_{n + 2} = 10 u_{n + 1} - 9 u_{n},

\forall n \geq 0, v_{n} = u_{n + 1} - u_{n} .

Cocher l’affirmation exacte :

((v_{n})_{n \in N})

est une suite arithmétique.

((v_{n})_{n \in N})

n’est pas une suite géométrique.

\forall n \in N, v_{n} = 9^{n} + 1

\forall n \geq 0, \sum_{k = 0}^{n} u_{k} = \frac{1}{64} (9^{n} - 8 n - 9)

Cocher l’affirmation exacte :

Les deux séries

\sum ln (1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n})

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

sont de même nature.

La série réelle

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}

converge si et seulement si

∣ x ∣ < 1

La série de terme général

u_{n} = sin (π n^{2} + 1)

est convergente.

La série réelle

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n l n ( n )}

est convergente.

Cocher l’assertion vraie :

L’équation

x^{5} - 5 x + 1 = 0

a exactement deux solutions réelles.

L’équation

x^{5} - 5 x + 1 = 0

a exactement trois solutions réelles.

L’équation

x^{5} - 5 x + 1 = 0

a exactement quatre solutions réelles.

L’équation

x^{5} - 5 x + 1 = 0

a exactement cinq solutions réelles.

Soit $f$ la fonction définie par :

f (x) = ∣ x ∣^{\frac{1}{x - 1}} .

Cocher l’assertion juste :

Le domaine de définition de

f

est

R - {1}

f

se prolonge par continuité en

1

, en posant

f (1) = e

f

se prolonge par continuité en

1

, et la fonction prolongée est dérivable en

1

La fonction

f

est dérivable en tout point de son domaine de définition et sa fonction dérivée est

f^{'} (x) = \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} ∣ x ∣^{\frac{1}{x - 1} - 1}

Q10

Cocher l’assertion juste :

Il existe une infinité de nombres premiers de la forme

6 n + 3, n \in N

Il existe une infinité de nombres premiers de la forme

4 n + 3, n \in N

Il existe une infinité de nombres premiers de la forme

n (n + 2) + 1, n \in N

Il existe une infinité de nombres premiers de la forme

1 2^{n} + 3 n, n \in N

Q11

Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a, b]$ et dérivable sur $] a, b [$ .

Cocher l’assertion juste :

f

est strictement croissante sur

[a, b]

si et seulement si

\forall x \in] a, b [, f^{'} (x) > 0

f

est strictement croissante sur

[a, b]

si et seulement si

f

est strictement croissante sur

] a, b [

\exists c \in] a, b [, f^{'} (c) = 0.

\exists! c \in] a, b [, f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a) .

Q12

Cocher le développement limité en $0$ exact :

tan x = x^{2} - \frac{x ^{4}}{3} + \frac{2}{15} x^{6} + o (x^{6})

\frac{1}{1 - 2 x c o s α + x ^{2}} = 1 + (2 cos α) x + (1 + 2 cos 2 α) x^{2} + o (x^{2})

ln (cos x) = - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{12} + o (x^{4})

\frac{x}{t a n x} = 1 - \frac{x ^{2}}{12} - \frac{x ^{4}}{40} + o (x^{4})

Q13

Cocher l’encadrement exact :

\forall x \in] - 1, 0 [, x < ln (1 + x) < \frac{1}{1 + x}

\forall n \in N^{*}, \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !} < e^{- 1} < \sum_{k = 0}^{2 n + 1} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !}

\forall n \in N^{*}, \sum_{k = 0}^{2 n - 1} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !} < e^{- 1} < \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !}

\exists n \in N, \forall x \in R, e^{x} \leq x^{n}

Q14

Soit $f$ la fonction définie sur $R_{+}^{*}$ par :

f (x) = ln (1 + \frac{1}{x ^{2}}) .

Cocher l’assertion juste :

lim_{x \to + \infty} x f (x) = + \infty

lim_{x \to 0^{+}} x f (x) = + \infty

f

est intégrable sur

] 0, + \infty [

\exists x > 0 tel que f (x) = 0

Q15

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. Soit $E$ l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tel que :

\overline{z} (z - 1) = z^{2} (\overline{z} - 1) .

Cocher l’assertion juste :

E = {0, 1}

E

est le cercle de centre le point d’affixe

0

et de rayon

1

E = {0, 1, - 1}

E = {1, 0, i, - i}

Q16

On considère l’intégrale :

I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x ^{2}}{( cos x + x sin x ) ^{2}}, d x .

En effectuant une intégration par parties, cocher la réponse juste :

I = \frac{3 3 - π}{3 + π 3}

I = \frac{3 3}{3 + π 3}

I = \frac{3 3 - π}{3}

I = \frac{3 3 + π}{3 + π 3}

Q17

Pour tout entier naturel $n$ , on note $n Z$ l’ensemble des entiers relatifs multiples de $n$ :

n Z = {nk ∣ k \in Z}

et pour $a, b \in N$ :

a Z + b Z = {a u + b v ∣ (u, v) \in Z^{2}} .

Cocher l’assertion juste :

2 Z \cap 3 Z = \emptyset

2 Z + 3 Z = Z

2 Z + 3 Z = 5 Z

2 Z \cap 3 Z = Z

Q18

Soit $((P_{n})_{n \in N})$ la famille de plans d’équations :

n^{2} x + (2 n - 1) y + n z = 3.

On note $E$ l’intersection de tous ces plans, c’est-à-dire :

E = {M (x, y, z) ∣ \forall n \in N, M \in P_{n}} .

Cocher l’assertion juste :

E = \emptyset

E

est le plan d’équation

x + y + z = 3

$E$ est la droite d’équation [[system:x+y+z=3;y=-3]]

E

est le point de coordonnées

(0, - 3, 6)

Q19

Cocher l’assertion juste :

lim_{x \to 1} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{l n t} = 0

lim_{x \to 1} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{l n t} = + \infty

lim_{x \to 1} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{l n t} = ln 2

lim_{x \to 1} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{l n t} n’existe pas

Q20

On lance 2 dés cubiques à six faces numérotées de $1$ à $6$ , parfaitement équilibrés, de manières indépendantes. Tous les résultats sont équiprobables.

On note $S$ la somme des deux faces obtenues. Soient $p$ la probabilité d’obtenir deux numéros identiques et $q$ celle d’obtenir une somme $S$ paire.

Cocher l’assertion juste :

p = \frac{C _{6}^{1}}{C _{6}^{2}} et q = \frac{C _{6}^{3}}{C _{6}^{2}}

p = \frac{1}{36} et q = \frac{1}{2}

p = \frac{1}{6} et q = \frac{1}{2}

p = \frac{1}{6} et q = \frac{1}{4}

Série 10