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Soit $f$ une application de $] 0, + \infty [$ vers $] 0, + \infty [$ .

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

La négation de

(\forall x > 0) (\exists y > 0) : y \neq = f (x)

est

(\exists x > 0) (\exists y > 0) : y = f (x) .

La négation de

(\exists x > 0) (\forall y > 0) : y f (x) > 0

est

(\forall x > 0) (\exists y > 0) : y f (x) < 0.

La négation de

(\forall x > 0) (\forall y > 0) : x \neq = y \Rightarrow f (x) \neq = f (y)

est

(\exists x > 0) (\exists y > 0) : x = y et f (x) = f (y) .

La négation de

(\forall x > 0) (\forall y > 0) : f (x) = f (y) \Rightarrow x = y

est

(\exists x > 0) (\exists y > 0) : x \neq = y et f (x) = f (y) .

Soit $A$ une partie non vide majorée de $R$ .

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

L’ensemble

A

admet un plus grand élément que l’on appelle sa borne supérieure.

L’ensemble

A

admet une borne supérieure

a

caractérisée par

(\forall x \in A), x \leq a

(\forall ε > 0) (\forall x \in A) : x \geq a - ε .

L’ensemble

A

admet une borne supérieure

a

caractérisée par

(\forall x \in A), x \leq a

(\forall ε > 0) (\exists x \in A) : x \geq a - ε .

L’ensemble

A

admet une borne supérieure

a

caractérisée par

(\forall x \in R) [(\forall y \in A, y \leq x) \Rightarrow x \geq a] .

Soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels quelconques.

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

∣ a + b ∣ \leq ∣ a - c ∣ + ∣ c + b ∣.

∣ a ∣ - ∣ b ∣ \geq ∣ a - b ∣.

∣ b - a ∣ + ∣ b - c ∣ + ∣ a - c ∣ = 2 [max {a, b, c} - min {a, b, c}] .

∣ a + b ∣ + ∣ a + c ∣ + ∣ b + c ∣ = ∣ a + b + c ∣ + ∣ a ∣ + ∣ b ∣ + ∣ c ∣.

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments, avec $n \geq 1$ , et $a$ un élément de $E$ .

On note $P_{a} (E)$ l’ensemble des parties de $E$ qui contiennent l’élément $a$ . On a :

card (P_{a} (E)) = n - 1.

card (P_{a} (E)) = 2^{n - 1} .

card (P_{a} (E)) = n .

card (P_{a} (E)) = 2^{n} .

Dans l’ensemble $Z \times Z$ , on considère les propositions suivantes.

L’équation

5 x - 67 y = 1

admet comme ensemble de solutions

S = {(27 + 67 k, 2 + 5 h) ∣ (k, h) \in Z^{2}} .

L’équation

18 x + 21 y = 1

admet au moins une solution.

L’équation

21 x - 45 y = 3

admet comme ensemble de solutions

S = {(- 2 + 15 k, - 1 + 7 k) ∣ k \in Z} .

L’équation

\frac{2}{3} x + \frac{4}{5} y = 1

admet au moins une solution.

On considère dans $C$ l’équation :

$(E) : z^{8} = \overline{z} .$

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

z

est une solution de

(E)

, alors

z \neq = 0

z

est une solution de

(E)

, alors

z = 0 ou ∣ z ∣ = 1.

L’équation

(E)

admet exactement

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solutions distinctes.

Les solutions non nulles de

(E)

sont les racines neuvièmes de l’unité.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

Soit $E$ l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que :

$\frac{z - 1}{1 + i z} = 2 .$

E

est une droite.

E

est le cercle de centre l’origine du repère et de rayon

2

E = \emptyset .

E

est le cercle de rayon

2

et de centre le point d’affixe

- 1 + 2 i

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $(Δ)$ d’équation $y = x$ .

On note $(D)$ une droite perpendiculaire à $(Δ)$ et qui est à distance $1$ de l’origine du repère.

Une équation cartésienne de $(D)$ est :

x - y + 2 = 0.

x + y + 2 = 0.

x + y - 2 = 0.

x - y - 2 = 0.

On dispose de deux pièces de monnaie.

La pièce $A$ donne face avec la probabilité $\frac{1}{2}$ , et la pièce $B$ donne face avec la probabilité $\frac{2}{3}$ .

On choisit une des deux pièces au hasard. On la lance. Si l’on obtient face, on conserve la pièce que l’on vient de lancer ; sinon, on change de pièce.

On note $p_{n}$ la probabilité de jouer avec la pièce $A$ au $n$ -ième lancer. On a :

p_{n + 1} = \frac{1}{6} p_{n} + \frac{1}{3} .

p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{3} .

p_{n + 1} = \frac{1}{6} p_{n} + \frac{2}{3} .

p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{2}{3} .

Q10

Soit $a > 0$ . On définit la suite $(u_{n})_{n \geq 0}$ par :

$u_{0} > 0$

et, pour $n \geq 0$ ,

$u_{n + 1} = \frac{u _{n}^{2} + a ^{2}}{2 u _{n}} .$

On a :

La suite

(u_{n})_{n \geq 0}

est strictement croissante.

(\forall n \in N^{*}), u_{n} \geq a

et la suite

(u_{n})_{n \geq 1}

est décroissante.

Pour tout

n \in N

∣ u_{n + 1} - a ∣ \leq \frac{∣ u _{1} - a ∣}{2 ^{n}} .

La suite

(u_{n})_{n \geq 0}

est divergente.

Q11

Soit $f : [0, 1] \to R$ une fonction continue telle que :

$f (0) > 0 et f (1) < 0.$

Par la méthode de dichotomie, on construit deux suites $(a_{n})_{n \geq 0}$ et $(b_{n})_{n \geq 0}$ , avec $a_{0} = 0$ et $b_{0} = 1$ .

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

Les suites

(a_{n})_{n \geq 0}

(b_{n})_{n \geq 0}

sont des suites adjacentes.

L’équation

f (x) = 0

admet une unique solution sur

[a_{0}, b_{0}]

f (a_{n}) < 0

f (\frac{a _{n} + b _{n}}{2}) > 0

, alors

a_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}

b_{n + 1} = b_{n}

Les deux suites

(a_{n})_{n \geq 0}

(b_{n})_{n \geq 0}

convergent vers la même limite, et cette limite commune est une solution de l’équation

f (x) = 0

sur

[0, 1]

Q12

Pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose :

$v_{n} = \sum_{k = n}^{2 n - 1} \frac{1}{n + k} .$

On a :

La suite

(v_{n})_{n \geq 1}

est convergente et sa limite est

ln 3

La suite

(v_{n})_{n \geq 1}

est convergente et sa limite est

\frac{3}{2}

La suite

(v_{n})_{n \geq 1}

est convergente et sa limite est

ln (\frac{3}{2})

La suite

(v_{n})_{n \geq 1}

est divergente.

Q13

Soit :

$f (x) = \frac{( 2 x ) ^{x}}{x ^{2 x}} .$

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty.

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0.

lim_{x \to + \infty} f (x) = 1.

La fonction

f

n’admet pas de limite en

+ \infty

Q14

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $R$ .

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

I

est borné, alors

f

est bornée et atteint ses bornes sur

I

a

b

sont deux éléments de

I

, et si

f (a) \leq y \leq f (b)

, alors il existe

c

entre

a

b

tel que

f (c) = y

I

est ouvert, alors

f (I)

est un intervalle ouvert.

I

est fermé, alors

f (I)

est un intervalle fermé.

Q15

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

Le développement limité d’ordre

2

\frac{1}{- 2 + h}

au voisinage de

0

est

- \frac{1}{2} + \frac{h}{2} + \frac{h ^{2}}{4} + o (h^{2}) .

Le développement limité d’ordre

2

\frac{1}{- 2 + h}

au voisinage de

0

est

- \frac{1}{2} - \frac{h}{4} - \frac{h ^{2}}{8} + o (h^{2}) .

Le développement limité d’ordre

2

e^{\frac{1}{- 2 + h}}

au voisinage de

0

est

e^{- \frac{1}{2}} (1 - \frac{h}{4} - \frac{3 h ^{2}}{32}) + o (h^{2}) .

Le développement limité d’ordre

2

e^{\frac{1}{- 2 + h}}

au voisinage de

0

est

e^{- \frac{1}{2}} (1 - \frac{h}{4} + \frac{5 h ^{2}}{32}) + o (h^{2}) .

Q16

Soit $f : [a, b] ⟶ R$ une fonction de classe $C^{2}$ sur $[a, b]$ vérifiant :

$f (a) = f^{'} (a) et f (b) = f^{'} (b) .$

En appliquant le théorème de Rolle à la fonction $g : x ⟼ (f (x) - f^{'} (x)) e^{x}$ sur $[a, b]$ , on montre que :

Il existe

c \in] a, b [

tel que

f^{'} (c) = 0

Il existe

c \in] a, b [

tel que

f (c) = f^{'} (c)

Il existe

c \in] a, b [

tel que

f^{''} (c) = 0

Il existe

c \in] a, b [

tel que

f (c) = f^{''} (c)

Q17

Soit $f$ la fonction définie sur $R^{*}$ par :

$f (t) = \frac{1}{t + 1 - e ^{- t}} .$

Pour tout $x \in R^{*}$ , on pose :

$F (x) = \int_{x}^{2 x} f (t), d t .$

On a :

F

est une primitive de

f

sur

R^{*}

, donc

(\forall x \in R^{*}) F^{'} (x) = f (x) .

F

est dérivable sur

R^{*}

(\forall x \in R^{*}) F^{'} (x) = f (2 x) - f (x) .

F

est dérivable sur

R^{*}

F^{'} (x) = \frac{( e ^{- x} - 1 ) ^{2}}{( 2 x + 1 - e ^{- 2 x} ) ( x + 1 - e ^{- x} )} .

F

est croissante et positive sur

] - \infty, 0 [

et sur

] 0, + \infty [

Q18

On considère l’intégrale :

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{s i n x}{s i n x + c o s x} d x .$

En effectuant le changement de variable $u = \frac{π}{2} - x$ , on trouve :

I = \frac{π}{2} .

I = \frac{π}{4} .

I = π .

I = \frac{π}{8} .

Q19

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

La série de terme général

u_{n} = sin (\frac{1}{n ^{2}})

est divergente.

En appliquant le critère de d’Alembert, on montre que la série

\sum_{n \geq 1} \frac{n ^{n}}{n !}

est convergente.

Soit

α > 0

et, pour tout

n \geq 1

, on pose

u_{n} = 1 - cos (\frac{1}{n ^{α}})

. La série

\sum u_{n}

est convergente si et seulement si

α > \frac{1}{2}

Si la série

\sum a_{n}

, à termes positifs, est convergente, alors la série

\sum_{n} \frac{2 ^{n} + a _{n}}{3 ^{n} + a _{n}}

est convergente.

Q20

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

L’intégrale

\int_{0}^{1} t^{α - 1} e^{- t} d t

est convergente pour

α < 0

L’intégrale

\int_{0}^{+ \infty} t^{α - 1} e^{- t} d t

est convergente pour

α > 0

L’intégrale

\int_{0}^{2} \frac{1}{t - 1} d t

est convergente.

La fonction

x ⟼ \frac{1 - c o s x}{x ^{2}}

est intégrable sur

] 0, + \infty [

Série 11