réussir–math

Soient $a \in R$ et une suite $((u_{n})_{n \in N})$ de réels telle que :

$u_{0} = a et \forall n \in N, u_{n + 1} = sin (u_{n}) .$

Pour toute valeur de $a$ , la suite $((u_{n}))$ est :

croissante

bornée

convergente

décroissante

On considère la même suite définie par $u_{n + 1} = sin (u_{n})$ .

Si $((u_{n}))$ admet une limite, finie ou non, alors il est possible que cette limite vaille :

1

0

\frac{π}{2}

+ \infty

On pose :

$γ = lim_{x \to 0} (\frac{1}{s i n ^{2} ( x )} - \frac{1}{x ^{2}}) .$

Alors :

γ = \frac{1}{6}

γ = \frac{1}{3}

γ = - \frac{1}{3}

γ = - \frac{1}{6}

On suppose :

$a = \frac{π}{4} .$

On déduit de la question précédente que :

u_{n} n \to + \infty \sim \frac{γ}{n}

u_{n} n \to + \infty \sim \frac{1}{γ n}

u_{n} n \to + \infty \sim \frac{γ}{n}

u_{n} n \to + \infty \sim \frac{1}{γ n}

Pour tout $n \in N$ , l’application $φ_{n}$ est définie sur $R$ par :

$\forall x \in R, φ_{n} (x) = (1 - x)^{n} e^{- 2 x},$

et l’intégrale :

$I_{n} = \int_{0}^{1} φ_{n} (x) d x .$

Les valeurs de $I_{0}$ et $I_{1}$ sont données par :

I_{0} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{- 2} et I_{1} = - \frac{1}{4} e^{- 2} + \frac{1}{4}

I_{0} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{- 2} et I_{1} = \frac{1}{4} e^{- 2} + \frac{1}{4}

I_{0} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{- 2} et I_{1} = - \frac{1}{4} e^{- 2} + \frac{1}{4}

I_{0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- 2} et I_{1} = - \frac{1}{4} e^{- 2} - \frac{1}{4}

On conserve les mêmes notations $I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - x)^{n} e^{- 2 x} d x$ .

La suite $((I_{n}))$ :

est croissante

est décroissante

tend vers

+ \infty

quand

n

tend vers

+ \infty

est convergente

Soit la suite $((a_{n})_{n \in N})$ définie par :

$\forall n \in N, a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} .$

Pour tout $n \in N$ , on pose :

$S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} .$

Alors :

la suite

((S_{n})_{n \in N})

est croissante

la suite

((S_{2 n})_{n \in N})

est décroissante

la suite

((S_{2 n + 1})_{n \in N})

est décroissante

pour tout

n \in N

S_{n} > 0

On rappelle que :

$a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1}$

et que :

$S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} .$

Pour tout $k \in N$ , on pose :

$I_{k} = \int_{0}^{1} t^{2 k} d t,$

de sorte que :

$S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} I_{k} .$

Alors :

S_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}} - (- 1)^{n + 1} \int_{0}^{1} \frac{t ^{2 n + 2}}{1 + t ^{2}} d t .

S_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}} - (- 1)^{n} \int_{0}^{1} \frac{t ^{2 n + 2}}{1 + t ^{2}} d t .

S_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}} - (- 1)^{n} \int_{0}^{1} \frac{t ^{2 n + 1}}{1 + t ^{2}} d t .

S_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}} - (- 1)^{n + 1} \int_{0}^{1} \frac{t ^{2 n + 2}}{1 + t ^{2}} d t .

On en déduit que la suite $((S_{n})_{n \in N})$ :

tend vers

+ \infty

quand

n

tend vers

+ \infty

est convergente, de limite égale à

\frac{π}{4}

est convergente, de limite égale à

\frac{π}{2}

est convergente, de limite égale à

1

Q10

Soit :

$P = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0}$

un polynôme à coefficients entiers, avec $a_{i} \in Z$ , tel que :

$a_{0} a_{n} \neq = 0.$

On suppose que $P$ admet une racine :

$r = \frac{p}{q},$

avec :

$p \in Z, q \in N^{*}, p \land q = 1.$

Alors :

p

divise

a_{0}

a_{0}

divise

p

q

divise

a_{n}

a_{n}

divise

q

Q11

On pose :

$α = cos (\frac{π}{9}) .$

On a :

(α)

est racine du polynôme

8 X^{3} - 6 X + 1

(α)

est racine du polynôme

8 X^{3} - 6 X - 1

(α)

est un irrationnel

(α)

est racine du polynôme

6 X^{3} - 5 X - 1

Q12

On considère l’ensemble :

$B = {(a a a a) a \in R^{*}} .$

On note $(\times)$ la multiplication dans $M_{2} (R)$ .

Alors :

Il existe au moins un élément de

B

inversible dans

(M_{2} (R), \times)

La matrice

(1001)

est l’élément neutre de

((B, \times))

La matrice

(\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2})

est l’élément neutre de

((B, \times))

((B, \times))

est un groupe commutatif

Q13

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $((O, u, v))$ , on considère la transformation $(σ)$ qui, à chaque point $M (z)$ , associe le point $M^{'} (z^{'})$ tel que :

$z^{'} = - 3 \overline{z} + 4 - 2 i .$

$(σ)$ est alors la composée :

d’une symétrie axiale et d’une homothétie

d’une symétrie axiale et d’une rotation

d’une translation et d’une symétrie axiale

d’une translation et d’une rotation

Q14

Soit $(C)$ le cercle de centre $(I)$ d’affixe $(- 1)$ et de rayon $(1)$ , et soit :

$σ (C) = C^{'} .$

Alors :

(C^{'})

est le cercle de centre

(I^{'})

d’affixe

(7 - 2 i)

et de rayon

(3)

(C^{'})

est le cercle de centre

(I^{'})

d’affixe

(7 + 4 i)

et de rayon

(3)

(C^{'})

est le cercle de centre

(I^{'})

d’affixe

(7 - 2 i)

et qui passe par le point

(A)

d’affixe

(7 + i)

(C^{'})

est le cercle de centre

(I^{'})

d’affixe

(7 - 4 i)

et qui est tangent à l’axe des abscisses

Q15

On donne trois points $(A)$ , $(B)$ et $(M)$ . On considère le point $(N)$ , milieu de $([A M])$ , et le point $(P)$ , milieu de $([B M])$ .

On a alors :

(N)

est l’image de

(M)

par l’homothétie de centre

(A)

et de rapport

\frac{1}{2}

(N)

est l’image de

(M)

par l’homothétie de centre

(A)

et de rapport

2

(P)

est l’image de

(N)

par la translation de vecteur

\frac{1}{2} A B

(P)

est l’image de

(N)

par la translation de vecteur

A B

Q16

Dans l’espace euclidien orienté $R^{3}$ , on considère un tétraèdre $(A B C D)$ .

L’ensemble des points $(M)$ tels que :

$3 M A + 2 M B = 2 M C + 3 M D$

est :

un singleton

une droite

un plan

une sphère

Q17

On considère le plan $((P))$ d’équation :

$x + y + z = 3,$

la droite $((D_{1}))$ définie par :

$(D_{1}) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 2 t, y = 1 + t, z = 2 + t, t \in R,$

et la droite $((D_{2}))$ définie par :

$(D_{2}) : {x - y = 0, 2 x + z = 1.$

On a alors :

La droite

((D_{2}))

passe par le point de coordonnées

((0, 0, 1))

et possède un vecteur directeur de coordonnées

(1, 1, - 2)

La droite

((D_{2}))

passe par les points de coordonnées

((1, 1, - 1))

((2, 2, 3))

Les deux droites sont non coplanaires,

(D_{1}) ∥ (P)

(D_{2}) ∥ (P)

Les deux droites sont non coplanaires,

(D_{1}) ∥ (P)

(D_{2}) ⊥ (P)

Q18

Dans un espace probabilisé $((Ω, T, P))$ , on considère deux événements $(A)$ et $(B)$ .

On suppose que :

$P (A) = \frac{1}{5} et P (A \cup B) = \frac{1}{2} .$

Alors :

Si les deux événements sont incompatibles, alors

P (B) = \frac{3}{10}

Si les deux événements sont indépendants, alors

P (B) = \frac{3}{8}

(A)

ne peut être réalisé que si l’événement

(B)

est réalisé, alors

P (B) = \frac{1}{2}

(B)

est réalisé, alors

(A)

est aussi réalisé

Q19

Dans un concours, la liste d’attente est constituée de $n$ candidats, avec $n \geq 4$ , ordonnés suivant l’ordre de mérite.

Deux amis se trouvent dans cette liste. On considère l’événement :

$A : « Les deux amis sont situ \overset{e}{ˊ} s l’un apr \overset{e}{ˋ} s l’autre. »$

La probabilité $P (A)$ est :

\frac{1}{n}

\frac{2}{n}

\frac{2}{n ( n - 1 )}

\frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1}

Q20

Dans le même concours, on considère l’événement :

$B : « Les deux amis sont s \overset{e}{ˊ} par \overset{e}{ˊ} s par un troisi \overset{e}{ˋ} me candidat. »$

La probabilité $P (B)$ est :

\frac{2}{n ( n - 1 )}

\frac{2}{n - 1}

\frac{2 ( n - 2 )}{n ( n - 1 )}

\frac{2}{n}

Série 12