Série 9

Soit $((u_{n})_{n \geq 1})$ la suite numérique définie par :

u_{1} = 1

u_{n + 1} = (n + u_{n}^{n - 1})^{\frac{1}{n}}, pour tout n \in N^{*} .

On a alors :

\forall n \geq 1, u_{n} = (\frac{n ^{2} - n + 2}{2})^{\frac{1}{n}}

\forall n \geq 2, u_{n} = (\frac{n ^{2} - n + 1}{2})^{\frac{1}{n - 1}}

\forall n \geq 2, u_{n} = (\frac{n ^{2} - n + 2}{2})^{\frac{1}{n - 1}}

\forall n \geq 1, u_{n} = (\frac{n ^{2} - n + 1}{2})^{\frac{1}{n}}

Soit $f$ une fonction numérique paire et dérivable sur $R$ , et $g$ la fonction numérique définie sur $R$ par :

g (x) = (\frac{x ^{3}}{3} + 1) f^{'} (x) + x .

La valeur de $g^{'} (0)$ est égale à :

- 1

0

1

2

La valeur de l’intégrale

\int_{0}^{\frac{π}{8}} cos (x) cos (2 x) sin (x) d x

est égale à :

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

\frac{1}{16}

On considère la fonction $f$ définie sur $] - 1, + \infty [$ par :

f (x) = \frac{ln ( 1 + x )}{1 + x} .

On donne, au voisinage de $0$ :

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) .

Le développement limité à l’ordre $3$ de $f$ en $0$ est :

f (x) = x - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{11}{6} x^{3} + o (x^{3})

f (x) = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{6} x^{3} + o (x^{3})

f (x) = x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{7}{6} x^{3} + o (x^{3})

f (x) = x - x^{2} + \frac{4}{5} x^{3} + o (x^{3})

La série

n = 1 \sum + \infty \frac{n + 1}{3 ^{n}}

converge et a pour somme :

2

\frac{7}{4}

\frac{11}{4}

\frac{5}{4}

On considère la suite de fonctions $((f_{n})_{n \in N})$ définie sur $R^{+}$ par :

f_{n} (x) = e^{- x^{n}} .

On a alors :

(f_{n})_{n \in N}

converge simplement vers la fonction

f

définie par :

f (x) = {1, 0, x \in [0, 1 [, x \geq 1.

(f_{n})_{n \in N}

converge uniformément vers la fonction

f

définie par :

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, \frac{1}{e}, 0, x \in [0, 1 [, x = 1, x > 1.

(f_{n})_{n \in N}

converge uniformément vers la fonction

f

définie par :

f (x) = {1, 0, x \in [0, 1 [, x \geq 1.

(f_{n})_{n \in N}

converge simplement vers la fonction

f

définie par :

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, \frac{1}{e}, 0, x \in [0, 1 [, x = 1, x > 1.

On considère la fonction $f$ définie sur

] 0, + \infty [\times] 0, + \infty [

par :

f (x, y) = \frac{x}{y} ln (x y) .

On a alors :

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} (x, y) = \frac{1}{y ^{2}} ln (x y)

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} (x, y) = \frac{1}{y ^{2}} (1 + ln (x y))

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} (x, y) = \frac{1}{y ^{2}} (2 + ln (x y))

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} (x, y) = - \frac{1}{y ^{2}} ln (x y)

On considère les ensembles suivants :

H = {3 π + 2 k π ∣ k \in Z}

K = {\frac{π}{3} + \frac{2 k π}{3} ∣ k \in Z} .

On a alors :

H \subset K

K \subset H

H \cap K = \emptyset

H = K

On considère deux points $A$ et $B$ du plan tels que :

A B = 6

et $I$ est le milieu de $[A B]$ .

L’ensemble des points $M$ du plan vérifiant :

M A \cdot M B = - 5

est :

Le cercle de centre

I

et de rayon

2

Le cercle de centre

I

et de rayon

4

La médiatrice du segment

[A B]

La droite qui passe par

I

et de vecteur directeur

(- 5 i)

Q10

On considère les droites :

(Δ_{1}) : {x = 1 + t, y = - t, t \in R, z = 1 + t

(Δ_{2}) : {y = 2, x - z = 2.

La distance entre les droites $(Δ_{1})$ et $(Δ_{2})$ est égale à :

0

\frac{2}{2}

2

3

Q11

Soient $z_{1}$ , $z_{2}$ et $z_{3}$ des nombres complexes tels que :

∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = ∣ z_{3} ∣ = 1

\frac{1}{z _{1}} + \frac{1}{z _{2}} + \frac{1}{z _{3}} = 1.

La valeur de

∣ z_{1} + z_{2} + z_{3} ∣

est égale à :

2

1

3

\frac{1}{2}

Q12

On considère deux fonctions numériques $f$ et $g$ à variables réelles telles que :

g (x) = 1 - x^{2}

(f \circ g) (x) = \frac{1 - x ^{2}}{x ^{2}} .

La valeur de

f (\frac{1}{2})

est égale à :

\frac{3}{4}

1

\frac{2}{2}

2

Q13

Pour tout entier naturel $n$ , l’un des trois entiers naturels

n, n + 10 et n + 20

est un multiple de :

2

3

4

5

Q14

Soit $x$ un nombre réel. On considère la matrice $M (x)$ définie par :

M (x) = 1 + x^{2} x - 2022 x + 2022 x^{2} x - 2021 x + 2022 x^{2} x - 2022 x + 2023 .

Le déterminant de la matrice $M (x)$ est égal à :

(x + 2021)^{2}

(x - 2022)^{2}

(x + 1)^{2}

(x - 1)^{2}

Q15

Soit $F$ la fraction rationnelle définie par :

F (X) = \frac{X ^{4}}{( X - 1 ) ( X ^{2} - 1 )} .

La décomposition de $F (X)$ en éléments simples dans $R (X)$ est :

F (X) = X - \frac{1}{4 ( X + 1 )} + \frac{1}{4 ( X - 1 )} + \frac{1}{2 ( X - 1 ) ^{2}}

F (X) = X + 1 + \frac{1}{4 ( X + 1 )} + \frac{7}{4 ( X - 1 )} + \frac{1}{2 ( X - 1 ) ^{2}}

F (X) = X + 1 + \frac{1}{2 ( X + 1 )} + \frac{1}{2 ( X - 1 )} + \frac{1}{( X - 1 ) ^{2}}

F (X) = X + \frac{1}{2 ( X + 1 )} + \frac{3}{4 ( X - 1 )} + \frac{1}{4 ( X - 1 ) ^{2}}

Q16

On note par $M_{2} (R)$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $2$ à coefficients réels. On considère l’ensemble :

E = {(a - b b - c a - c b - a) (a, b, c) \in R^{3}} .

On a alors :

(E, +, \cdot)

n’est pas un espace vectoriel sur

R

(E, +, \cdot)

est un espace vectoriel de dimension

3

(E, +, \cdot)

est un espace vectoriel de dimension

2

(E, +, \cdot)

est un espace vectoriel de dimension

4

Q17

On considère la matrice :

M = 001001111 .

Les valeurs propres de la matrice $M$ sont :

0

1

2

0

(- 1)

2

0

1

(- 1)

(- 2)

Q18

Soit $n \in N$ . On pose :

E = C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 3 C_{n}^{2} + \dots + (n + 1) C_{n}^{n} .

La valeur de $E$ est égale à :

2^{n - 1}

n 2^{n - 1} + 2^{n}

n 2^{n - 1}

(n + 1) 2^{n}

Q19

Soient $E$ et $F$ deux événements tels que :

P (E) = P (F) = \frac{4}{5} .

On a alors :

P (E \cap F) \leq \frac{2}{5}

\frac{2}{5} < P (E \cap F) < \frac{3}{5}

\frac{3}{5} \leq P (E \cap F) \leq \frac{4}{5}

\frac{4}{5} < P (E \cap F) \leq 1

Q20

Une urne contient trois boules : une blanche, une noire et une verte. On tire successivement et avec remise une boule de cette urne jusqu’à ce que l’on obtienne une boule blanche pour la première fois. On note $X$ le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une première boule blanche. On a alors :

E (X) = 3 et V (X) = 2

E (X) = 3 et V (X) = 6

E (X) = \frac{1}{3} et V (X) = \frac{2}{9}

E (X) = 9 et V (X) = \frac{3}{4}

Q21

Soit :

a \in] 1, + \infty [.

On pose :

I_{a} = \iint_{D_{a}} \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y,

tel que :

D_{a} = [\frac{1}{a}, a] \times [0, 1] .

La valeur de l’intégrale $I_{a}$ est égale à :

\frac{π}{2} + ln (a)

\frac{π}{2} ln (3 a)

π ln (2 a)

\frac{π}{2} ln (a)

Q22

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $R$ par :

f (x) = e^{g (x)}

g (x) = \int_{2}^{x^{2}} \frac{e ^{- t}}{1 + t ^{2}} d t .

La valeur de

f^{'} (2)

est égale à :

\frac{4 2}{5} e^{- 4}

\frac{3 2}{5} e^{- 3}

\frac{2 2}{5} e^{- 2}

\frac{2}{5} e^{- 1}

Q23

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $R^{2}$ par :

f (x, y) = 2 x^{3} + 6 x y - 3 y^{2} + 2.

On a alors :

f

n’admet pas d’extremums.

f

admet un maximum local en

(- 1, - 1)

f

admet un minimum local en

(- 1, - 1)

f

admet un maximum local en

(0, 0)

Q24

Soit $f$ une fonction numérique de classe $C^{2}$ sur $R$ telle que :

f^{''} (0) = 5.

La limite

x \to 0 lim \frac{2 f ( x ) - 3 f ( 2 x ) + f ( 4 x )}{x ^{2}}

est égale à :

15

10

5

20

Q25

On note $M_{2} (R)$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $2$ à coefficients réels. On pose :

H = {(x x x x) x \in R} .

Le produit matriciel de $M_{2} (R)$ induit sur $H$ une loi de composition interne dont l’élément neutre est :

(1001)

(1111)

\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2}

Q26

La limite

x \to 0 lim (2^{x} + 3^{x} - 4^{x})^{\frac{1}{x}}

est égale à :

+∞

\frac{2}{3}

1

\frac{3}{2}

Q27

Soient $x$ , $y$ et $θ$ des nombres réels tels que :

\frac{3}{2 + e ^{i θ}} = x + i y .

La valeur de l’expression

(x - 2)^{2} + y^{2}

est égale à :

- 1

0

1

2

Q28

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels tels que :

a \land b = 1.

On note $a \land b$ le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ . On a alors :

2 \land ab = (2 \land a) \times (2 \land b)

(a + b) \land (a - b) = 1

(a + b) \land (a - b) = 2

(2 a + b) \land (a + 2 b) = 1

Q29

On lance $115$ fois de suite un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ . Soit $X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de $6$ obtenus sur les $115$ lancers. La probabilité

P (X \geq 2)

est égale à :

1 - 20 (\frac{1}{6})^{115}

20 (\frac{1}{6})^{114}

1 - 20 (\frac{5}{6})^{114}

20 (\frac{1}{6})^{115}

Q30

Soient $a$ , $b$ et $c$ trois nombres réels tels que :

x \to 0 lim \frac{a e ^{x} - b cos x + c e ^{- x}}{x sin x} = 2.

La valeur de

a + b + c

est égale à :

4

5

6

7

Q31

On pose :

ω = e^{\frac{2 iπ}{3}} .

Soient $a$ , $b$ et $c$ des nombres réels tels que :

\frac{1}{a + ω} + \frac{1}{b + ω} + \frac{1}{c + ω} = \frac{2}{ω}

\frac{1}{a + ω ^{2}} + \frac{1}{b + ω ^{2}} + \frac{1}{c + ω ^{2}} = \frac{2}{ω ^{2}} .

La valeur de l’expression

\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1}

est égale à :

0

2

- 3

- 4

Q32

On considère les ensembles :

F = {(x, y) \in R^{2} x^{2} - y^{2} = 3 x - 4 y}

H = {(x, y) \in R^{2} 2 x y = 4 x + 3 y} .

On pose :

K = {x^{2} + y^{2} (x, y) \in F \cap H} .

On a alors :

K = {0, 16}

K = {0, 1, 9, 16}

K = {1, 4, 25}

K = {0, 25}

Q33

Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ . On tire une boule au hasard. On note $X$ la variable aléatoire égale au chiffre obtenu. Alors $X$ suit :

La loi binomiale de paramètres

n

\frac{1}{n}

La loi géométrique sur

N^{*}

de paramètre

\frac{1}{n}

La loi uniforme de paramètre

\frac{1}{n}

La loi de Bernoulli de paramètre

\frac{1}{n}

Q34

On pose :

I = \int_{- 4}^{- 5} e^{(x + 5)^{2}} d x - 3 \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} e^{9 (x - \frac{2}{3})^{2}} d x .

La valeur de $I$ est égale à :

\frac{2}{5}

\frac{1}{5}

\frac{1}{2}

0

Q35

On construit d’un même côté de la droite $(A B)$ les demi-cercles de diamètres $[A B]$ , $[B C]$ et $[A C]$ .

Soit $D$ un point du demi-cercle de diamètre $[A C]$ tel que :

(A C) ⊥ (B D) et B D = 4.

Voir figure.

L’aire de la région grise est :

Figure de la question Q35 montrant les demi-cercles construits sur les segments AB, BC et AC

2 π

4 π

6 π

8 π

Q36

On note $M_{3} (R)$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $3$ à coefficients réels.

Soit $M$ une matrice de $M_{3} (R)$ telle que :

M^{2} = M - I,

où :

I = 100010001 .

Le déterminant de la matrice $M$ est égal à :

- 1

0

1

2

Q37

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0, 1]$ .

On pose :

Y = - ln X .

Alors $Y$ suit :

La loi uniforme sur

[0, 1]

La loi uniforme sur

[- 1, 0]

La loi exponentielle de paramètre

1

La loi exponentielle de paramètre

(- 1)

Q38

Soit $((a_{n})_{n \geq 1})$ une suite numérique. On a :

lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,

alors la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}

converge.

a_{n} > 0

et la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}

converge, alors la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}

converge.

Si la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}

converge, alors la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1 + a _{n}}{2 + a _{n}}

converge.

a_{n} > 0

et la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}

converge, alors la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n} a_{n}

converge.

Q39

Soit $(A B C)$ un triangle tel que :

B D = 5, D C = 7, B C = 8, A C = 13

et :

A D = x .

La valeur de $x$ est égale à :

Figure de la question Q39 représentant le triangle ABC et le point D

12

11

10

9

Q40

Dans l’anneau $(A, +, \times)$ tel que :

A = {a + 2 b ∣ a, b \in Z},

l’élément $(a + 2 b)$ , différent de $0$ , est inversible si :

a = b

a^{2} = b^{2}

a^{2} = 2 b^{2} + 1

a^{2} = - 2 b^{2}

Q41

Soit $a > 1$ . Une variable aléatoire continue suit une loi de densité $f$ définie sur $R$ par :

f (x) = {\frac{1 + 4 ln x}{x}, x \in [1, a], 0, sinon .

La valeur de $a$ est égale à :

e

\frac{1}{e}

\frac{1}{e}

e

Q42

Soit $((a_{n})_{n \geq 1})$ une suite numérique. On a :

a_{n} > 0

et la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}

converge, alors :

lim_{n \to + \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = L < 1.

Si :

lim_{n \to + \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = L < 1,

alors la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}

converge.

Si la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}

diverge, alors la suite

((a_{n})_{n \geq 1})

est divergente.

Si la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}

converge, alors la série

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{a _{n} + n ^{2}}

converge.

Q43

Soit $f$ une application de $R$ dans $R$ telle que :

\forall x \in R, (f \circ f) (x) = - x .

On a alors :

f

est bijective.

f

est croissante sur

R

f

est décroissante sur

R

f (0) = 1

Q44

On pose :

I =] - \infty, 1 [

et :

J =] ln (2) - 1, + \infty [.

Soit $f : I \to J$ définie par :

f (x) = ln (1 + x^{2}) - x .

Soit $f^{- 1}$ la fonction réciproque de $f$ , définie sur $J$ . Le développement limité à l’ordre $4$ de $f^{- 1}$ en $0$ est :

f^{- 1} (x) = - x + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x^{3} + \frac{7}{2} x^{4} + o (x^{4})

f^{- 1} (x) = - x + x^{2} - 3 x^{3} + \frac{9}{2} x^{4} + o (x^{4})

f^{- 1} (x) = - x - \frac{1}{3} x^{2} - 2 x^{3} + \frac{7}{2} x^{4} + o (x^{4})

f^{- 1} (x) = - x + x^{2} - 2 x^{3} + \frac{9}{2} x^{4} + o (x^{4})

Q45

On considère l’application $f$ définie de $R^{2}$ dans $R^{2}$ par :

f (x, y) = (x - 2 y, - 3 x + 4 y) .

Sachant que $f$ est bijective, sa bijection réciproque $f^{- 1}$ est définie pour tout $((x, y) \in R^{2})$ par :

f^{- 1} (x, y) = (\frac{2 x - y}{5}, \frac{- 3 x + y}{10})

f^{- 1} (x, y) = (\frac{- x - 2 y}{5}, \frac{- 3 x - y}{10})

f^{- 1} (x, y) = (\frac{3 x + y}{2}, 2 x + y)

f^{- 1} (x, y) = (- 2 x - y, - \frac{3 x}{2} - \frac{y}{2})

Q46

Soit $((u_{n})_{n \in N})$ une suite arithmétique ne s’annulant pas telle que :

u_{0} = 1.

Alors, pour tout entier naturel $n$ :

k = 0 \sum n \frac{1}{u _{k} u _{k + 1}}

est égale à :

\frac{n + 1}{u _{n + 1}}

\frac{n}{u _{n + 1}}

\frac{n + 1}{u _{n}}

\frac{n}{u _{n}}

Q47

L’intégrale curviligne :

\int_{C} (\frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} d x + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} d y),

le long de la courbe $C$ définie par le segment qui relie les points :

A (1, - 1) et B (2, 0),

est égale à :

ln (2)

\frac{l n ( 2 )}{2}

\frac{l n ( 3 )}{2}

ln (3)

Q48

Soit $(C)$ un cercle tangent aux deux droites d’équations cartésiennes respectives :

x - 2 y + 1 = 0

et :

x - 2 y + 11 = 0.

Le rayon du cercle $(C)$ est égal à :

5

25

3

23

Q49

L’inverse de $\overline{7}$ dans $Z /60 Z$ est :

\overline{17}

\overline{29}

\overline{43}

\overline{7}

Q50

Soient $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$ , et $f$ l’application définie par :

f : P (E) ⟶ P (A) \times P (B),

X ⟼ (X \cap A, X \cap B) .

Si $f$ est injective, alors :

A \cap B = \emptyset

A \cup B = E

A \cap \overline{B} = \emptyset

A \cup \overline{B} = E