Apprentissage, erreurs et résolution de problèmes

Les travaux des philosophes contemporains de l’éducation nous incitent à penser que c’est l’élève qui construit son savoir : c’est le modèle constructiviste de l’apprentissage, dont on peut dégager quelques caractéristiques.

L’élève apprend en agissant : ainsi, on peut penser que l’action, en mathématiques, c’est la résolution de problèmes.

Compte tenu de son passé scolaire et de son vécu socio-culturel, l’élève a des connaissances et des conceptions qui doivent être prises en compte pour tout apprentissage nouveau.

Un élève ne peut résoudre un problème que s’il se l’est approprié. Lorsque le problème devient le sien, il y a dévolution du problème.

L’élève cherche à résoudre un problème à partir de ses propres connaissances et conceptions qui peuvent parfois devenir des obstacles.

Apprendre, c’est alors dépasser ces obstacles.

Toute connaissance nouvelle oblige à repenser ses savoirs et à les réorganiser. Cela passe par une phase de déstabilisation, de doute pour l’élève.

Au cours de cette phase de doute, les connaissances de l’élève le conduisent à des résultats contradictoires. Il n’est plus en mesure de valider ses productions, remet en question ses connaissances antérieures, provoquant ainsi un conflit cognitif.

Le conflit peut être favorisé si la situation d’apprentissage permet une contradiction au sein d’un groupe. On parle alors de conflit socio-cognitif.

Selon les méthodes d’enseignement, le conflit cognitif, ou socio-cognitif, est plus ou moins favorisé.

Dans les cours magistraux, par exemple, il est laissé à l’initiative des apprenants. Il suffit aux bons élèves d’un contre-exemple pour provoquer un questionnement. Pour les autres, il faut d’autres expériences personnelles qui n’ont pas réussi, pour qu’il y ait réellement apprentissage d’une connaissance nouvelle.

Certains enseignants mettront en place, par exemple, des situations-problèmes, qui sont des situations d’apprentissage provoquant une déstabilisation afin de pouvoir dépasser les obstacles.

Il est clair que la décomposition en éléments simples d’une connaissance complexe ne favorise pas l’acquisition. Un problème complexe n’est pas la réunion de problèmes simples. Sa résolution nécessite des compétences mathématiques, certes, mais également des compétences transversales.

C’est au sujet lui-même qu’il revient de décomposer une situation complexe et de relier par le raisonnement et l’imagination, voire la création, les éléments simples qui le composent entre eux.

L’analyse de travaux d’élèves nous renseigne sur les procédures des élèves dont certaines sont erronées.

On peut considérer que l’erreur est un manque, la nier et construire des activités de manière à ce que les élèves ne fassent pas d’erreurs.

Mais dans une perspective constructiviste de l’apprentissage, l’erreur est un indicateur d’apprentissage.

L’analyse permet à l’enseignant de comprendre quels sont les obstacles, où ils se situent et de construire un dispositif adapté, permettant de dépasser ces obstacles.

Ce dispositif dépendra de la nature de l’erreur et de son origine.

Il est donc important de situer une erreur dans une typologie permettant de l’analyser pour mieux la comprendre et pouvoir la traiter.

Les didacticiens de mathématiques se sont intéressés à la classification des erreurs.

Une erreur étant repérée, il s’agit alors de faire des hypothèses sur son origine, sur ce qui a conduit l’élève à produire cette erreur-là.

Quand on procède à une analyse d’erreurs, il faut garder à l’esprit que rien n’est écrit au hasard.

Analyser une erreur, c’est présupposer une logique dans la démarche qui conduit à cette erreur, et essayer de la retrouver en s’extrayant du problème.

Cette logique peut éventuellement s’expliquer en dehors du contexte mathématique, par les effets du contrat didactique ou pédagogique.

On ne peut pas toujours conclure, mais on peut — ou on doit — faire des hypothèses.

Un élève ne fait jamais n’importe quoi. Il ne faut pas faire semblant de croire qu’il répond au hasard ou qu’il fait simplement des fautes d’inattention.

Il faut toujours préciser que l’on fait des hypothèses.

L’activité de résolution de problèmes est centrale en mathématiques et, plus largement, dans l’activité mentale de chacun.

Résoudre un problème permet de découvrir, d’accéder à quelque chose de nouveau.

On résout des problèmes, en mathématiques, pour acquérir des connaissances.

La formation des concepts mathématiques est très liée aux problèmes dans lesquels intervient ce concept et que l’élève est conduit à résoudre.

Un élève qui doit résoudre un problème passe par quatre phases très fortement imbriquées.

La lecture et l’interprétation de l’énoncé provoquent une représentation du problème chez l’élève.

Cette représentation évolue au fur et à mesure de la lecture et se structure.

Elle dépend des capacités de lecture de l’élève et de ses connaissances mathématiques et sociales.

C’est à partir de cette représentation que l’élève va s’engager dans la résolution et, plus tard, valider la solution qu’il trouvera.

Il est donc particulièrement important que cette représentation soit valide.

Les élèves en difficulté en mathématiques peuvent avoir des capacités de raisonnement logique souvent identiques à celles des bons élèves. Ils résolvent parfois des énigmes complexes qui ne demandent pas une interprétation difficile du contexte.

En revanche, dans la situation classique de résolution d’un problème concret, ils se construisent fréquemment des représentations incomplètes, imprécises ou incohérentes.

Ils peuvent retenir des informations inutiles par rapport à la question posée et ignorer des indices essentiels.

Il existe des liens étroits entre la manière dont on se représente le problème et la manière dont on cherche.

Le choix d’une stratégie s’effectue à partir de la représentation que l’élève se construit, en lien avec ses connaissances et ses expériences scolaires antérieures.

L’élève identifie :

• un contexte connu ;
• un exercice déjà rencontré ;
• une méthode déjà mise en œuvre ;
• un schéma de problème déjà mémorisé ;
• une classe de problème identifiée.

Ce sont les savoir-faire de l’élève qui lui permettent de mettre en œuvre la stratégie choisie.

Dans certains cas, l’élève peut connaître la stratégie à mettre en œuvre sans être capable de l’appliquer correctement ou de la conduire à son terme.

Par exemple, un élève peut savoir qu’il faut poser une division, savoir quelle division poser, mais ne pas être capable de l’effectuer.

Pendant cette phase, l’élève peut être tellement absorbé par ses calculs qu’il en oublie le but du problème.

Un élève qui mobilise toute son énergie pour se souvenir des tables de multiplication peut sortir d’un calcul en ne sachant plus ce qu’il a calculé.

On parle alors de surcharge cognitive.

Les automatismes de calcul doivent donc être entraînés pour ne pas encombrer la mémoire de travail de l’élève et éviter qu’il oublie les informations pertinentes pour la résolution du problème.

Au cours des phases précédentes, l’élève valide sa stratégie ou son résultat par retour à la représentation qu’il s’est construite du problème.

Il ne le fait pas toujours par retour à l’énoncé, contrairement à ce que l’on suppose souvent.

Ainsi, certaines solutions peuvent apparaître incohérentes au professeur alors qu’elles ne le sont pas pour l’élève au regard de sa représentation du problème.

Les élèves en difficulté contrôlent souvent moins leurs démarches.

C’est pourquoi les contradictions qui peuvent apparaître en cours d’activité ou qui sont pointées par le professeur ne provoquent pas toujours, chez eux, la remise en cause d’une interprétation fausse de l’énoncé.

Éviter les phrases comme : « Il a mal lu l’énoncé » ; « Il n’a pas compris ».

Certes, certains élèves sont de mauvais lecteurs, mais toute forme de lecture de l’énoncé, dans le cadre scolaire, conduit à une représentation.

Cette représentation peut être erronée, mais elle existe et détermine la résolution.

Il y a toujours une certaine compréhension du problème.

Ce que l’on demande au candidat, c’est de découvrir laquelle, de faire des hypothèses sur ce que l’élève a compris et sur les conséquences de cette compréhension.

Il faut aussi éviter de confondre la phase de contrôle et la vérification des résultats.

Le contrôle a lieu tout au long de la démarche de résolution de problème.

C’est après avoir effectué un contrôle par rapport à ce que l’on imagine être correct comme démarche ou résultat intermédiaire que l’on décide de changer de stratégie ou de poursuivre.

Par exemple, un calcul qui devient trop compliqué ou qui ne se simplifie pas invite à essayer une autre méthode.

Ces contrôles sont fréquents et caractéristiques de toute action. L’expérience sociale et scolaire permet de les rendre plus efficaces.

• Dans une perspective constructiviste, l’élève construit son savoir en agissant.
• Les conceptions antérieures des élèves doivent être prises en compte dans tout apprentissage.
• L’erreur n’est pas seulement un manque : elle est un indicateur d’apprentissage.
• Analyser une erreur consiste à faire des hypothèses sur la logique de l’élève.
• Une erreur peut être liée à la notion, au traitement des données, au comportement ou à la compréhension de la tâche.
• Résoudre un problème suppose une représentation, un choix de stratégie, une mise en œuvre et un contrôle.
• Le contrôle accompagne toute la démarche de résolution et ne se réduit pas à la vérification finale du résultat.